Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin tulad ng pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pag-aaral upang mapagbuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong kalusugan. mahahalagang kaso.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang konsepto ng parallel lines

Kahulugan 1

Mga parallel na linya– ang mga tuwid na linya na nasa parehong eroplano ay hindi nagtutugma at walang mga karaniwang punto.

Kung ang mga tuwid na linya ay may isang karaniwang punto, kung gayon sila bumalandra.

Kung ang lahat ng mga punto ay tuwid tugma, pagkatapos ay mayroon tayong isang tuwid na linya.

Kung ang mga linya ay namamalagi sa iba't ibang mga eroplano, kung gayon ang mga kondisyon para sa kanilang paralelismo ay medyo mas malaki.

Kapag isinasaalang-alang ang mga tuwid na linya sa parehong eroplano, ang sumusunod na kahulugan ay maaaring ibigay:

Kahulugan 2

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel, kung hindi sila magsalubong.

Sa matematika, ang mga parallel na linya ay karaniwang tinutukoy gamit ang parallelism sign na "$\parallel$". Halimbawa, ang katotohanan na ang linyang $c$ ay kahanay ng linyang $d$ ay tinutukoy bilang mga sumusunod:

$c\parallel d$.

Ang konsepto ng parallel na mga segment ay madalas na isinasaalang-alang.

Kahulugan 3

Ang dalawang segment ay tinatawag parallel, kung nakahiga sila sa magkatulad na linya.

Halimbawa, sa figure ang mga segment na $AB$ at $CD$ ay magkatulad, dahil nabibilang sila sa mga parallel na linya:

$AB \parallel CD$.

Kasabay nito, ang mga segment na $MN$ at $AB$ o $MN$ at $CD$ ay hindi magkatulad. Ang katotohanang ito ay maaaring isulat gamit ang mga simbolo tulad ng sumusunod:

$MN ∦ AB$ at $MN ∦ CD$.

Ang paralelismo ng isang tuwid na linya at isang segment, isang tuwid na linya at isang sinag, isang segment at isang sinag, o dalawang sinag ay tinutukoy sa katulad na paraan.

Makasaysayang sanggunian

Mula sa Griyego, ang konsepto ng "parallelos" ay isinalin bilang "pagdating sa tabi" o "hawak sa tabi ng isa't isa." Ang terminong ito ay ginamit sa sinaunang paaralan ng Pythagoras bago pa man matukoy ang magkatulad na mga linya. Ayon kay makasaysayang katotohanan Euclid noong $III$ na siglo. BC. ang kanyang mga gawa gayunpaman ay nagsiwalat ng kahulugan ng konsepto ng parallel lines.

Noong sinaunang panahon, ang tanda para sa pagtatalaga ng mga parallel na linya ay mayroon magandang tanawin kung ano ang ginagamit natin sa modernong matematika. Halimbawa, ang sinaunang Greek mathematician na si Pappus noong $III$ na siglo. AD Ang paralelismo ay ipinahiwatig gamit ang isang pantay na tanda. Yung. ang katotohanang ang linyang $l$ ay kahanay ng linyang $m$ ay dating tinukoy ng “$l=m$”. Nang maglaon, ang pamilyar na "$\parallel$" na tanda ay nagsimulang gamitin upang tukuyin ang parallelism ng mga linya, at ang pantay na tanda ay nagsimulang gamitin upang tukuyin ang pagkakapantay-pantay ng mga numero at expression.

Parallel lines sa buhay

Kadalasan hindi natin napapansin iyon sa ordinaryong buhay nakapaligid sa amin malaking bilang parallel lines. Halimbawa, sa isang music book at isang koleksyon ng mga kanta na may mga tala, ang staff ay ginawa gamit ang parallel lines. Ang mga parallel na linya ay matatagpuan din sa mga Instrumentong pangmusika(halimbawa, mga kuwerdas ng alpa, mga kuwerdas ng gitara, mga key ng piano, atbp.).

Ang mga de-koryenteng kawad na matatagpuan sa kahabaan ng mga kalye at kalsada ay tumatakbo din parallel. Metro line riles at mga riles ay matatagpuan sa parallel.

Bilang karagdagan sa pang-araw-araw na buhay, ang mga parallel na linya ay matatagpuan sa pagpipinta, sa arkitektura, at sa pagtatayo ng mga gusali.

Mga parallel na linya sa arkitektura

Sa ipinakita na mga imahe, ang mga istruktura ng arkitektura ay naglalaman ng mga parallel na linya. Ang paggamit ng mga parallel na linya sa konstruksiyon ay nakakatulong upang mapataas ang buhay ng serbisyo ng naturang mga istraktura at nagbibigay sa kanila ng pambihirang kagandahan, kaakit-akit at kadakilaan. Ang mga linya ng kuryente ay sadyang inilalagay nang magkatulad upang maiwasan ang pagtawid o paghawak sa mga ito, na hahantong sa mga short circuit, pagkawala ng kuryente at pagkawala ng kuryente. Upang ang tren ay malayang makagalaw, ang mga riles ay ginawa rin sa parallel lines.

Sa pagpipinta, ang mga parallel na linya ay inilalarawan bilang nagtatagpo sa isang linya o malapit dito. Ang pamamaraan na ito ay tinatawag na pananaw, na sumusunod mula sa ilusyon ng pangitain. Kung titingnan mo ang distansya sa loob ng mahabang panahon, ang mga parallel na tuwid na linya ay magmumukhang dalawang linyang nagtatagpo.

Ang artikulong ito ay tungkol sa parallel lines at parallel lines. Una, ang kahulugan ng mga parallel na linya sa isang eroplano at sa espasyo ay ibinigay, ang mga notasyon ay ipinakilala, ang mga halimbawa at mga graphic na ilustrasyon ng mga parallel na linya ay ibinigay. Susunod, tinalakay ang mga palatandaan at kundisyon para sa paralelismo ng mga linya. Sa konklusyon, ang mga solusyon sa mga karaniwang problema ng pagpapatunay ng parallelism ng mga linya ay ipinapakita, na ibinibigay ng ilang mga equation ng isang linya sa isang rectangular coordinate system sa isang eroplano at sa three-dimensional na espasyo.

Pag-navigate sa pahina.

Parallel lines - pangunahing impormasyon.

Kahulugan.

Dalawang linya sa isang eroplano ang tinatawag parallel, kung wala silang mga karaniwang puntos.

Kahulugan.

Dalawang linya sa three-dimensional na espasyo ang tinatawag parallel, kung nakahiga sila sa parehong eroplano at walang mga karaniwang punto.

Pakitandaan na ang sugnay na "kung nakahiga sila sa parehong eroplano" sa kahulugan ng mga parallel na linya sa kalawakan ay napakahalaga. Linawin natin ang puntong ito: ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo na walang mga karaniwang punto at hindi nakahiga sa parehong eroplano ay hindi magkatulad, ngunit intersecting.

Narito ang ilang halimbawa ng parallel lines. Ang kabaligtaran na mga gilid ng notebook sheet ay nakahiga sa mga parallel na linya. Ang mga tuwid na linya kung saan ang eroplano ng dingding ng bahay ay nagsalubong sa mga eroplano ng kisame at sahig ay magkatulad. Ang mga riles ng tren sa patag na lupa ay maaari ding ituring na magkatulad na linya.

Upang tukuyin ang mga parallel na linya, gamitin ang simbolo na "". Iyon ay, kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating maisulat sa madaling sabi ang isang b.

Pakitandaan: kung ang mga linya a at b ay magkatulad, maaari nating sabihin na ang linya a ay kahanay ng linya b, at gayundin ang linyang b ay parallel sa linya a.

Ipahayag natin ang isang pahayag na gumaganap ng isang mahalagang papel sa pag-aaral ng mga parallel na linya sa isang eroplano: sa pamamagitan ng isang puntong hindi nakahiga sa isang partikular na linya, doon ay dumadaan sa nag-iisang tuwid na linya parallel sa ibinigay na isa. Ang pahayag na ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan (hindi ito mapapatunayan batay sa mga kilalang axioms ng planimetry), at ito ay tinatawag na axiom ng parallel lines.

Para sa kaso sa espasyo, ang teorama ay wasto: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang theorem na ito ay madaling napatunayan gamit ang axiom sa itaas ng mga parallel na linya (makikita mo ang patunay nito sa geometry textbook para sa mga grade 10-11, na nakalista sa dulo ng artikulo sa listahan ng mga sanggunian).

Para sa kaso sa espasyo, ang teorama ay wasto: sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, mayroong isang solong tuwid na linya na kahanay sa ibinigay na linya. Ang theorem na ito ay madaling mapatunayan gamit ang parallel line axiom sa itaas.

Paralelismo ng mga linya - mga palatandaan at kundisyon ng paralelismo.

Isang tanda ng paralelismo ng mga linya ay isang sapat na kondisyon para ang mga linya ay magkatulad, iyon ay, isang kondisyon na ang katuparan nito ay ginagarantiyahan na ang mga linya ay parallel. Sa madaling salita, ang katuparan ng kundisyong ito ay sapat upang maitatag ang katotohanan na ang mga linya ay magkatulad.

Mayroon ding kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism ng mga linya sa isang eroplano at sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ipaliwanag natin ang kahulugan ng pariralang "kailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na mga linya."

Napag-usapan na namin ang sapat na kundisyon para sa mga parallel na linya. At ano ang " kinakailangang kondisyon paralelismo ng mga linya"? Mula sa pangalang "kailangan" ay malinaw na ang katuparan ng kundisyong ito ay kinakailangan para sa mga parallel na linya. Sa madaling salita, kung hindi natutugunan ang kinakailangang kondisyon para sa mga linya na magkatulad, kung gayon ang mga linya ay hindi magkatulad. kaya, kinakailangan at sapat na kondisyon para sa magkatulad na linya ay isang kondisyon na ang katuparan nito ay parehong kinakailangan at sapat para sa magkatulad na linya. Iyon ay, sa isang banda, ito ay isang tanda ng paralelismo ng mga linya, at sa kabilang banda, ito ay isang pag-aari na mayroon ang mga parallel na linya.

Bago bumuo ng isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya, ipinapayong alalahanin ang ilang mga pantulong na kahulugan.

Secant line ay isang linya na nagsasalubong sa bawat isa sa dalawang ibinigay na linyang hindi magkatugma.

Kapag ang dalawang tuwid na linya ay nagsalubong sa isang transversal, walong hindi pa nabubuo ang nabuo. Sa pagbabalangkas ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya, ang tinatawag na nakahiga crosswise, kaukulang At isang panig na anggulo. Ipakita natin sila sa drawing.

Teorama.

Kung ang dalawang tuwid na linya sa isang eroplano ay intersected ng isang transversal, kung gayon para sa mga ito ay parallel ito ay kinakailangan at sapat na ang mga intersecting na mga anggulo ay pantay, o ang mga kaukulang anggulo ay pantay, o ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay katumbas ng 180 degrees.

Ipakita natin ang isang graphic na paglalarawan ng kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa isang eroplano.

Makakahanap ka ng mga patunay ng mga kundisyong ito para sa paralelismo ng mga linya sa mga aklat-aralin sa geometry para sa mga baitang 7-9.

Tandaan na ang mga kundisyong ito ay maaari ding gamitin sa tatlong-dimensional na espasyo - ang pangunahing bagay ay ang dalawang tuwid na linya at ang secant ay nasa parehong eroplano.

Narito ang ilan pang theorems na kadalasang ginagamit upang patunayan ang paralelismo ng mga linya.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng pamantayang ito ay sumusunod mula sa axiom ng mga parallel na linya.

Mayroong katulad na kondisyon para sa mga parallel na linya sa tatlong-dimensional na espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa espasyo ay parallel sa isang ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel. Ang patunay ng pamantayang ito ay tinalakay sa mga aralin sa geometry sa ika-10 baitang.

Ilarawan natin ang mga nakasaad na theorems.

Ipakita natin ang isa pang teorama na nagpapahintulot sa atin na patunayan ang paralelismo ng mga linya sa isang eroplano.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa isang eroplano ay patayo sa isang ikatlong linya, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Mayroong katulad na teorama para sa mga linya sa espasyo.

Teorama.

Kung ang dalawang linya sa three-dimensional na espasyo ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon ang mga ito ay parallel.

Gumuhit tayo ng mga larawan na naaayon sa mga teorema na ito.

Ang lahat ng mga theorems, pamantayan at kinakailangan at sapat na mga kondisyon na binuo sa itaas ay mahusay para sa pagpapatunay ng paralelismo ng mga linya gamit ang mga pamamaraan ng geometry. Iyon ay, upang patunayan ang parallelism ng dalawang ibinigay na mga linya, kailangan mong ipakita na sila ay kahanay sa isang ikatlong linya, o ipakita ang pagkakapantay-pantay ng mga crosswise lying angle, atbp. Maraming mga katulad na problema ang nalutas sa mga aralin sa geometry sa mataas na paaralan. Gayunpaman, dapat tandaan na sa maraming mga kaso ito ay maginhawa upang gamitin ang coordinate na paraan upang patunayan ang parallelism ng mga linya sa isang eroplano o sa tatlong-dimensional na espasyo. Bumuo tayo ng kailangan at sapat na mga kondisyon para sa parallelism ng mga linya na tinukoy sa isang rectangular coordinate system.

Parallelism ng mga linya sa isang rectangular coordinate system.

Sa talatang ito ng artikulo ay bubuo tayo kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa mga parallel na linya sa isang rectangular coordinate system, depende sa uri ng mga equation na tumutukoy sa mga tuwid na linyang ito, at ipinapakita din namin mga detalyadong solusyon mga gawaing katangian.

Magsimula tayo sa kondisyon ng parallelism ng dalawang tuwid na linya sa isang eroplano sa rectangular coordinate system na Oxy. Ang kanyang patunay ay batay sa kahulugan ng vector ng direksyon ng isang linya at ang kahulugan ng normal na vector ng isang linya sa isang eroplano.

Teorama.

Para magkaparehas ang dalawang linyang hindi magkatugma sa isang eroplano, kinakailangan at sapat na ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay collinear, o ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay collinear, o ang vector ng direksyon ng isang linya ay patayo sa normal. vector ng pangalawang linya.

Malinaw, ang kondisyon ng parallelism ng dalawang linya sa isang eroplano ay nabawasan sa (mga vector ng direksyon ng mga linya o normal na mga vector ng mga linya) o sa (vektor ng direksyon ng isang linya at normal na vector ng pangalawang linya). Kaya, kung at ay mga vector ng direksyon ng mga linya a at b, at At ay mga normal na vector ng mga linyang a at b, ayon sa pagkakabanggit, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya a at b ay isusulat bilang , o , o , kung saan ang t ay ilang totoong numero. Sa turn, ang mga coordinate ng mga gabay at (o) normal na mga vector ng mga linya a at b ay matatagpuan gamit ang mga kilalang equation ng mga linya.

Sa partikular, kung ang tuwid na linya a sa rectangular coordinate system ay tinukoy ng Oxy sa eroplano ang isang pangkalahatang straight line equation ng form , at tuwid na linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at, ayon sa pagkakabanggit, at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang a at b ay isusulat bilang .

Kung ang linya a ay tumutugma sa equation ng isang linya na may isang angular na koepisyent ng anyo , at linya b - , kung gayon ang mga normal na vector ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang ito ay kumukuha ng anyo . Dahil dito, kung ang mga linya sa isang eroplano sa isang rectangular coordinate system ay parallel at maaaring tukuyin ng mga equation ng mga linya na may angular coefficients, kung gayon ang mga angular coefficient ng mga linya ay magiging pantay. At sa kabaligtaran: kung ang mga di-nagtutugma na linya sa isang eroplano sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay maaaring tukuyin ng mga equation ng isang linya na may pantay na angular coefficients, kung gayon ang mga naturang linya ay magkatulad.

Kung ang isang linya a at isang linya b sa isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay tinutukoy ng mga canonical equation ng isang linya sa isang eroplano ng anyo At , o mga parametric equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano ng form At nang naaayon, ang mga vector ng direksyon ng mga linyang ito ay may mga coordinate at , at ang kundisyon para sa parallelism ng mga linyang a at b ay nakasulat bilang .

Tingnan natin ang mga solusyon sa ilang halimbawa.

Halimbawa.

Parallel ba ang mga linya? At ?

Solusyon.

Muli nating isulat ang equation ng isang linya sa mga segment sa anyo ng isang pangkalahatang equation ng isang linya: . Ngayon ay makikita natin na ang normal na vector ng linya , a ay ang normal na vector ng linya. Ang mga vector na ito ay hindi collinear, dahil walang tunay na numero t kung saan ang pagkakapantay-pantay ( ). Dahil dito, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa paralelismo ng mga linya sa isang eroplano ay hindi nasiyahan, samakatuwid, ang mga ibinigay na linya ay hindi magkatulad.

Sagot:

Hindi, ang mga linya ay hindi parallel.

Halimbawa.

Ang mga tuwid na linya ba ay parallel?

Solusyon.

Bawasan natin ang canonical equation ng isang straight line sa equation ng isang straight line na may angular coefficient: . Malinaw, ang mga equation ng mga linya at ay hindi pareho (sa kasong ito, ang mga ibinigay na linya ay magiging pareho) at ang mga angular coefficient ng mga linya ay pantay, samakatuwid, ang orihinal na mga linya ay magkatulad.

Sa isang eroplano, ang mga linya ay tinatawag na parallel kung wala silang mga karaniwang punto, iyon ay, hindi sila nagsalubong. Para ipahiwatig ang parallelism, gumamit ng espesyal na icon || (parallel lines a || b).

Para sa mga linya na nakahiga sa kalawakan, ang pangangailangan na walang mga karaniwang punto ay hindi sapat - para sila ay magkatulad sa kalawakan, dapat silang kabilang sa parehong eroplano (kung hindi, sila ay magsalubong).

Hindi mo kailangang lumayo para sa mga halimbawa ng magkatulad na mga linya; sinasamahan nila kami saanman, sa isang silid - ito ang mga linya ng intersection ng dingding na may kisame at sahig, sa isang notebook sheet - kabaligtaran na mga gilid, atbp.

Halatang halata na, ang pagkakaroon ng dalawang linya parallel at isang ikatlong linya parallel sa isa sa unang dalawa, ito ay magiging parallel din sa pangalawa.

Ang mga parallel na linya sa isang eroplano ay nauugnay sa isang pahayag na hindi mapapatunayan gamit ang mga axiom ng planimetry. Ito ay tinatanggap bilang isang katotohanan, bilang isang axiom: para sa anumang punto sa eroplano na hindi nakahiga sa isang linya, mayroong isang natatanging linya na dumadaan dito parallel sa ibinigay na isa. Alam ng bawat ikaanim na baitang ang axiom na ito.

Ang spatial generalization nito, iyon ay, ang pahayag na para sa anumang punto sa espasyo na hindi nakahiga sa isang linya, mayroong isang natatanging linya na dumadaan dito parallel sa ibinigay na isa, ay madaling napatunayan gamit ang alam na axiom ng parallelism sa eroplano.

Mga katangian ng parallel na linya

• Kung ang alinman sa dalawang magkatulad na linya ay parallel sa pangatlo, kung gayon sila ay magkapareho.

Ang mga parallel na linya sa eroplano at sa kalawakan ay may ganitong katangian.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang pagbibigay-katwiran nito sa stereometry.

Ipagpalagay natin na ang mga linya b at linya a ay magkatulad.

Ang kaso kapag ang lahat ng tuwid na linya ay nasa parehong eroplano ay iiwan sa planimetry.

Ipagpalagay na ang a at b ay nabibilang sa beta plane, at ang gamma ay ang eroplano kung saan nabibilang ang a at c (sa pamamagitan ng kahulugan ng parallelism sa espasyo, ang mga tuwid na linya ay dapat na kabilang sa parehong eroplano).

Kung ipagpalagay natin na ang mga beta at gamma plane ay magkaiba at markahan ang isang tiyak na punto B sa linya b mula sa beta plane, kung gayon ang eroplano na iginuhit sa punto B at linya c ay dapat mag-intersect sa beta plane sa isang tuwid na linya (ipahiwatig natin ito b1) .

Kung ang nagreresultang tuwid na linya b1 ay bumalandra sa gamma plane, kung gayon, sa isang banda, ang intersection point ay kailangang nasa a, dahil ang b1 ay kabilang sa beta plane, at sa kabilang banda, dapat din itong kabilang sa c, dahil b1 ay kabilang sa ikatlong eroplano.
Ngunit ang magkatulad na linya a at c ay hindi dapat magsalubong.

Kaya, ang linya b1 ay dapat na kabilang sa betta plane at sa parehong oras ay walang mga karaniwang puntos na may a, samakatuwid, ayon sa parallelism axiom, ito ay tumutugma sa b.
Nakuha namin ang isang linya b1 na tumutugma sa linya b, na kabilang sa parehong eroplano na may linya c at hindi nagsalubong dito, iyon ay, ang b at c ay magkapareho

• Sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang ibinigay na linya, isang solong tuwid na linya lamang ang maaaring dumaan parallel sa ibinigay na linya.

• Dalawang linya na nakahiga sa isang eroplano na patayo sa pangatlo ay magkatulad.

• Kung ang eroplano ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, ang pangalawang linya ay nag-intersect din sa parehong eroplano.

• Ang mga kaukulang at cross-lying na panloob na mga anggulo na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng dalawang parallel na linya ng isang third ay pantay, ang kabuuan ng panloob na isang panig na anggulo na nabuo ay 180°.

Ang magkasalungat na mga pahayag ay totoo rin, na maaaring kunin bilang mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang tuwid na linya.

Kondisyon para sa mga parallel na linya

Ang mga katangian at katangiang nabalangkas sa itaas ay kumakatawan sa mga kundisyon para sa paralelismo ng mga linya, at mapapatunayan ang mga ito gamit ang mga pamamaraan ng geometry. Sa madaling salita, upang patunayan ang parallelism ng dalawang umiiral na linya, sapat na upang patunayan ang kanilang parallelism sa isang ikatlong linya o ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo, maging sila ay katumbas o crosswise, atbp.

Para sa patunay, pangunahing ginagamit nila ang pamamaraang "sa pamamagitan ng kontradiksyon", iyon ay, sa pag-aakalang ang mga linya ay hindi magkatulad. Batay sa pagpapalagay na ito, madaling maipakita na sa kasong ito ang mga tinukoy na kundisyon ay nilabag, halimbawa, ang mga panloob na anggulo na nakahiga sa bawat isa ay lumabas na hindi pantay, na nagpapatunay sa hindi tama ng pagpapalagay na ginawa.

Mga palatandaan ng paralelismo ng dalawang linya

Theorem 1. Kung, kapag ang dalawang linya ay nagsalubong sa isang secant:

ang mga crossed angle ay pantay, o

katumbas ang mga anggulo, o

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°, kung gayon

magkatulad ang mga linya(Larawan 1).

Patunay. Nililimitahan namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng kaso 1.

Hayaang ang mga intersecting na linya a at b ay crosswise at ang mga anggulo AB ay pantay. Halimbawa, ∠ 4 = ∠ 6. Patunayan natin na isang || b.

Ipagpalagay na ang mga linya a at b ay hindi magkatulad. Pagkatapos ay bumalandra sila sa isang punto M at, samakatuwid, ang isa sa mga anggulo 4 o 6 ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM. Para sa katiyakan, hayaang ∠ 4 ang panlabas na anggulo ng tatsulok na ABM, at ∠ 6 ang panloob. Mula sa theorem sa panlabas na anggulo ng isang tatsulok ay sumusunod na ang ∠ 4 ay mas malaki kaysa sa ∠ 6, at ito ay sumasalungat sa kondisyon, na nangangahulugan na ang mga linya a at 6 ay hindi maaaring magsalubong, kaya sila ay parallel.

Bunga 1. Dalawang magkaibang linya sa isang eroplanong patayo sa parehong linya ay magkatulad(Larawan 2).

Magkomento. Ang paraan na pinatunayan lang natin ang kaso 1 ng Theorem 1 ay tinatawag na paraan ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon o pagbabawas sa katarantaduhan. Natanggap ng pamamaraang ito ang unang pangalan dahil sa simula ng argumento ay ginawa ang isang pagpapalagay na taliwas (salungat) sa kailangang patunayan. Ito ay tinatawag na humahantong sa kahangalan dahil sa ang katunayan na, ang pangangatwiran sa batayan ng pagpapalagay na ginawa, tayo ay dumating sa isang walang katotohanan na konklusyon (sa walang katotohanan). Ang pagtanggap ng gayong konklusyon ay nagpipilit sa atin na tanggihan ang palagay na ginawa sa simula at tanggapin ang isa na kailangang patunayan.

Gawain 1. Bumuo ng isang linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto M at parallel sa isang ibinigay na linya a, hindi dumadaan sa punto M.

Solusyon. Gumuhit kami ng isang tuwid na linya p sa pamamagitan ng puntong M patayo sa tuwid na linya a (Larawan 3).

Pagkatapos ay gumuhit kami ng isang linya b hanggang sa punto M patayo sa linya p. Ang linya b ay parallel sa linya a ayon sa corollary ng Theorem 1.

Ang isang mahalagang konklusyon ay sumusunod mula sa problemang isinasaalang-alang:
sa pamamagitan ng isang punto na hindi nakahiga sa isang naibigay na linya, palaging posible na gumuhit ng isang linya na kahanay sa ibinigay na linya.

Ang pangunahing pag-aari ng mga parallel na linya ay ang mga sumusunod.

Axiom ng mga parallel na linya. Sa pamamagitan ng isang naibigay na punto na hindi namamalagi sa isang naibigay na linya, mayroon lamang pumasa sa isang linya na kahanay sa ibinigay na isa.

Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga parallel na linya na sumusunod mula sa axiom na ito.

1) Kung ang isang linya ay nag-intersect sa isa sa dalawang parallel na linya, pagkatapos ay nag-intersect din ito sa isa (Fig. 4).

2) Kung ang dalawang magkaibang linya ay parallel sa ikatlong linya, kung gayon sila ay parallel (Fig. 5).

Ang sumusunod na teorama ay totoo rin.

Theorem 2. Kung ang dalawang parallel na linya ay intersected ng isang transversal, kung gayon:

ang mga crosswise na anggulo ay pantay;

ang mga katumbas na anggulo ay pantay;

ang kabuuan ng isang panig na anggulo ay 180°.

Bunga 2. Kung ang isang linya ay patayo sa isa sa dalawang magkatulad na linya, kung gayon ito ay patayo din sa isa(tingnan ang Fig. 2).

Magkomento. Ang Theorem 2 ay tinatawag na kabaligtaran ng Theorem 1. Ang konklusyon ng Theorem 1 ay ang kondisyon ng Theorem 2. At ang kondisyon ng Theorem 1 ay ang pagtatapos ng Theorem 2. Hindi lahat ng theorem ay may kabaligtaran, iyon ay, kung ang isang ibinigay na theorem ay totoo, kung gayon ang inverse theorem ay maaaring mali.

Ipaliwanag natin ito gamit ang halimbawa ng theorem sa mga patayong anggulo. Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: kung ang dalawang anggulo ay patayo, kung gayon sila ay pantay. Ang converse theorem ay magiging: kung ang dalawang anggulo ay pantay, kung gayon sila ay patayo. At ito, siyempre, ay hindi totoo. Dalawa pantay na anggulo hindi kailangang patayo.

Halimbawa 1. Dalawang magkatulad na linya ay tinatawid ng isang pangatlo. Ito ay kilala na ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang panloob na isang panig na anggulo ay 30°. Hanapin ang mga anggulong ito.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang kundisyon.