Math pendulum ay isang materyal na punto na nasuspinde sa isang walang timbang at hindi mapalawak na sinulid na matatagpuan sa gravitational field ng Earth. Math pendulum ay isang idealized na modelo na wastong naglalarawan ng isang tunay na pendulum sa ilalim lamang ng ilang mga kundisyon. Ang isang tunay na pendulum ay maaaring ituring na matematika kung ang haba ng sinulid ay mas malaki kaysa sa laki ng katawan na nakasuspinde dito, ang masa ng sinulid ay bale-wala kumpara sa masa ng katawan, at ang mga deformation ng sinulid ay napakaliit. na maaari silang mapabayaan nang buo.

Oscillatory system sa sa kasong ito bumuo ng isang thread, isang katawan na nakakabit dito at ang Earth, kung wala ang sistemang ito ay hindi maaaring magsilbi bilang isang pendulum.

saan A X – pagbilis, g - pagbilis ng grabidad, X- pag-aalis, l– haba ng thread ng pendulum.

Ang equation na ito ay tinatawag equation ng libreng oscillations ng isang mathematical pendulum. Inilalarawan nito nang tama ang mga vibrations na pinag-uusapan kapag natugunan ang mga sumusunod na pagpapalagay:

2) ang mga maliliit na oscillations ng pendulum na may maliit na anggulo ng swing ay isinasaalang-alang.

Ang mga libreng vibrations ng anumang mga system ay inilarawan sa lahat ng mga kaso sa pamamagitan ng mga katulad na equation.

Ang mga sanhi ng libreng oscillations ng isang mathematical pendulum ay:

1. Ang pagkilos ng tensyon at gravity sa pendulum, na pumipigil dito mula sa paglipat mula sa posisyon ng equilibrium at pinipilit itong bumagsak muli.

2. Ang pagkawalang-galaw ng pendulum, dahil sa kung saan ito, pinapanatili ang bilis nito, ay hindi hihinto sa posisyon ng balanse, ngunit dumaan pa ito.

Panahon ng mga libreng oscillations ng isang mathematical pendulum

Ang panahon ng libreng oscillation ng isang mathematical pendulum ay hindi nakasalalay sa masa nito, ngunit tinutukoy lamang ng haba ng thread at ang acceleration ng gravity sa lugar kung saan matatagpuan ang pendulum.

Pagbabago ng enerhiya sa panahon ng mga harmonic oscillations

Sa panahon ng mga harmonic oscillations ng spring pendulum, ang potensyal na enerhiya ng isang elastically deformed body ay na-convert sa kinetic energy nito, kung saan k – koepisyent ng pagkalastiko, X - modulus ng displacement ng pendulum mula sa posisyon ng equilibrium, m- masa ng pendulum, v- ang bilis nito. Ayon sa harmonic vibration equation:

, .

Kabuuang enerhiya ng isang spring pendulum:

.

Kabuuang enerhiya para sa isang mathematical pendulum:

Sa kaso ng isang mathematical pendulum

Ang mga pagbabagong-anyo ng enerhiya sa panahon ng mga oscillations ng spring pendulum ay nangyayari alinsunod sa batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya ( ). Kapag ang isang pendulum ay gumagalaw pababa o pataas mula sa posisyon ng equilibrium nito, ang potensyal na enerhiya nito ay tumataas, at ang kinetic energy nito ay bumababa. Kapag ang pendulum ay pumasa sa posisyon ng ekwilibriyo ( X= 0), ang potensyal na enerhiya nito ay zero at ang kinetic energy ng pendulum ay may pinakamalaking halaga, katumbas ng kabuuang enerhiya nito.

Kaya, sa proseso ng mga libreng oscillations ng pendulum, ang potensyal na enerhiya nito ay nagiging kinetic, kinetic sa potensyal, potensyal pagkatapos ay bumalik sa kinetic, atbp. Ngunit ang kabuuang mekanikal na enerhiya ay nananatiling hindi nagbabago.

Sapilitang vibrations. Resonance.

Ang mga oscillation na nagaganap sa ilalim ng impluwensya ng isang panlabas na pana-panahong puwersa ay tinatawag sapilitang mga oscillations. Ang panlabas na pana-panahong puwersa, na tinatawag na puwersang nagtutulak, ay nagbibigay ng karagdagang enerhiya sa oscillatory system, na napupunta upang palitan ang mga pagkawala ng enerhiya na nagaganap dahil sa alitan. Kung ang puwersang nagtutulak ay nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa batas ng sine o cosine, kung gayon ang sapilitang mga oscillations ay magiging harmonic at walang dampi.

Hindi tulad ng mga libreng oscillations, kapag ang sistema ay tumatanggap ng enerhiya nang isang beses lamang (kapag ang sistema ay inilabas mula sa ekwilibriyo), sa kaso ng sapilitang mga oscillations ang sistema ay sumisipsip ng enerhiya na ito mula sa isang pinagmumulan ng panlabas na pana-panahong puwersa nang tuluy-tuloy. Ang enerhiya na ito ay bumubuo para sa mga pagkalugi na ginugol sa pagtagumpayan ng alitan, at samakatuwid ang kabuuang enerhiya ng oscillatory system ay nananatiling hindi nagbabago.

Ang dalas ng sapilitang mga oscillation ay katumbas ng dalas ng puwersang nagtutulak. Sa kaso kung saan ang dalas ng puwersa sa pagmamaneho υ tumutugma sa natural na dalas ng oscillatory system υ 0 , mayroong isang matalim na pagtaas sa amplitude ng sapilitang mga oscillations - resonance. Resonance ay nangyayari dahil sa ang katunayan na kapag υ = υ 0 ang panlabas na puwersa, na kumikilos sa oras na may mga libreng vibrations, ay palaging nakahanay sa bilis ng oscillating body at gumagawa ng positibong trabaho: ang enerhiya ng oscillating body ay tumataas, at ang amplitude ng mga oscillations nito ay nagiging malaki. Graph ng amplitude ng sapilitang mga oscillations A T sa dalas ng lakas ng pagmamaneho υ ipinapakita sa figure, ang graph na ito ay tinatawag na resonance curve:

Ang kababalaghan ng resonance ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa isang bilang ng mga natural, pang-agham at pang-industriya na proseso. Halimbawa, kinakailangang isaalang-alang ang hindi pangkaraniwang bagay ng resonance kapag nagdidisenyo ng mga tulay, gusali at iba pang mga istraktura na nakakaranas ng panginginig ng boses sa ilalim ng pagkarga, kung hindi man sa ilalim ng ilang mga kundisyon ang mga istrukturang ito ay maaaring masira.

Pendulum Foucault- isang pendulum na ginagamit para sa pang-eksperimentong pagpapakita araw-araw na pag-ikot Lupa.

Ang Foucault pendulum ay isang napakalaking bigat na nakasuspinde sa isang wire o sinulid, tuktok na dulo na kung saan ay pinalakas (halimbawa, gamit ang isang cardan joint) upang ito ay nagpapahintulot sa pendulum na umindayog sa anumang patayong eroplano. Kung ang Foucault pendulum ay pinalihis mula sa patayo at pinakawalan nang walang paunang bilis, kung gayon ang mga puwersa ng grabidad at pag-igting ng sinulid na kumikilos sa pagkarga ng pendulum ay nasa lahat ng oras sa eroplano ng pag-indayog ng pendulum at hindi ito magiging sanhi ng pag-ikot nito. nauugnay sa mga bituin (sa inertial frame of reference na nauugnay sa mga bituin) . Ang isang observer na matatagpuan sa Earth at umiikot kasama nito (ibig sabihin, matatagpuan sa isang non-inertial frame of reference) ay makikita na ang plane of swing ng Foucault pendulum ay dahan-dahang umiikot kaugnay sa ibabaw ng earth sa direksyon na kabaligtaran sa direksyon ng pag-ikot. ng mundo. Kinukumpirma nito ang katotohanan ng araw-araw na pag-ikot ng Earth.

Sa Hilaga o polong timog ang eroplano ng oscillation ng Foucault pendulum ay iikot ng 360° bawat sidereal na araw (sa pamamagitan ng 15 o bawat pinakamagandang oras). Sa isang punto sa ibabaw ng mundo, ang heyograpikong latitude na katumbas ng φ, ang horizon plane ay umiikot sa patayo na may angular velocity na ω 1 = ω sinφ (ω ang modulus ng angular velocity ng Earth) at ang swing plane ng pendulum ay umiikot na may parehong angular na bilis. Samakatuwid, ang maliwanag na angular na bilis ng pag-ikot ng swing plane ng Foucault pendulum sa latitude φ, na ipinahayag sa mga degree sa bawat sidereal na oras, ay may halaga na ω m =15 o sinφ, ibig sabihin, ang mas maliit na φ, ang mas maliit na φ, at sa ekwador ito ay nagiging zero (ang eroplano ay hindi umiikot). SA Southern Hemisphere Ang pag-ikot ng swing plane ay makikita sa direksyon na kabaligtaran sa naobserbahan sa Northern Hemisphere. Ang isang pinong pagkalkula ay nagbibigay ng halaga

ω m = 15 o sinφ

saan A-amplitude ng mga oscillations ng pendulum weight, l- haba ng thread. Isang karagdagang termino na nagpapababa ng angular velocity, mas maliit ang mas malaki l. Samakatuwid, upang ipakita ang eksperimento, ipinapayong gumamit ng Foucault pendulum na may pinakamahabang posibleng haba ng sinulid (ilang sampu-sampung m).

Kwento

Ang device na ito ay unang dinisenyo ng French scientist na si Jean Bernard Leon Foucault.

Ang aparatong ito ay isang limang kilo na bolang tanso na nasuspinde mula sa kisame sa isang dalawang metrong bakal na kawad.

Isinagawa ni Foucault ang kanyang unang eksperimento sa basement ng kanyang sariling bahay. Enero 8, 1851. Isang entry ang ginawa tungkol dito sa scientific diary ng scientist.

Pebrero 3, 1851 Ipinakita ni Jean Foucault ang kanyang pendulum sa Paris Observatory sa mga akademikong nakatanggap ng mga sulat na may sumusunod na nilalaman: "Iniimbitahan kitang sundan ang pag-ikot ng Earth."

Ang unang pampublikong pagpapakita ng eksperimento ay naganap sa inisyatiba ni Louis Bonaparte sa Paris Pantheon noong Abril ng parehong taon. Isang metal na bola ang nasuspinde sa ilalim ng simboryo ng Pantheon tumitimbang ng 28 kg na may isang tip na nakakabit dito sa isang bakal na kawad diameter 1.4 mm at 67 m ang haba. Pag-mount pinahintulutan ito ng pendulum na malayang umindayog sa lahat mga direksyon. Sa ilalim isang pabilog na bakod na may diameter na 6 na metro ay ginawa bilang isang attachment point; isang landas ng buhangin ay ibinuhos sa gilid ng bakod upang ang pendulum, sa paggalaw nito, ay maaaring gumuhit ng mga marka sa buhangin kapag tumatawid dito. Upang maiwasan ang isang pagtulak sa gilid kapag sinimulan ang pendulum, dinala ito sa gilid at itinali ng isang lubid, pagkatapos ay ang lubid. nasunog. Ang panahon ng oscillation ay 16 segundo.

Ang eksperimento ay isang mahusay na tagumpay at nagdulot ng malawak na resonance sa mga siyentipiko at pampublikong lupon sa France at iba pang mga bansa sa mundo. Noong 1851 lamang na-modelo ang iba pang mga pendulum pagkatapos ng unang nilikha, at ang mga eksperimento ni Foucault ay isinagawa sa Paris Observatory, sa katedral Reims, sa Church of St. Ignatius sa Roma, sa Liverpool, sa Oxford, Dublin, sa Rio de Janeiro, sa lungsod ng Colombo sa Ceylon, New York.

Sa lahat ng mga eksperimentong ito, ang mga sukat ng bola at ang haba ng pendulum ay iba, ngunit lahat sila ay nakumpirma ang mga konklusyon.Jean Bernard Leon Foucault.

Ang mga elemento ng pendulum, na ipinakita sa Pantheon, ay itinatago na ngayon sa Paris Museum of Arts and Crafts. At ang mga Foucault pendulum ay matatagpuan na ngayon sa maraming bahagi ng mundo: sa polytechnic at scientific-natural history museums, scientific observatories, planetariums, university laboratories at library.

Mayroong tatlong Foucault pendulum sa Ukraine. Ang isa ay naka-imbak sa National Technical University of Ukraine "KPI na pinangalanan pagkatapos. Igor Sikorsky", ang pangalawa - sa Kharkov pambansang unibersidad sila. V.N. Karazin, pangatlo - sa Kharkov Planetarium.

Ang isang mathematical pendulum ay isang modelo ng isang ordinaryong pendulum. Ang isang mathematical pendulum ay isang materyal na punto na nasuspinde sa isang mahabang walang timbang at hindi mapalawak na sinulid.

Alisin natin ang bola sa equilibrium na posisyon nito at bitawan ito. Dalawang puwersa ang kikilos sa bola: gravity at ang pag-igting ng sinulid. Kapag gumagalaw ang pendulum, kikilos pa rin dito ang puwersa ng air friction. Ngunit isasaalang-alang namin ito na napakaliit.

I-decompose natin ang puwersa ng grabidad sa dalawang bahagi: isang puwersa na nakadirekta sa sinulid, at isang puwersa na nakadirekta patayo sa padaplis sa tilapon ng bola.

Ang dalawang puwersang ito ay nagdaragdag sa puwersa ng grabidad. Ang elastic forces ng thread at ang gravity component Fn ay nagbibigay ng centripetal acceleration sa bola. Ang gawaing ginawa ng mga puwersang ito ay magiging zero, at samakatuwid ay babaguhin lamang nila ang direksyon ng velocity vector. Sa anumang sandali sa oras, ito ay ididirekta nang tangential sa arko ng bilog.

Sa ilalim ng impluwensya ng gravity component Fτ, ang bola ay lilipat sa isang pabilog na arko na may bilis na tumataas sa magnitude. Ang halaga ng puwersang ito ay palaging nagbabago sa magnitude; kapag dumadaan sa posisyon ng equilibrium, ito ay katumbas ng zero.

Dynamics ng oscillatory motion

Equation ng paggalaw ng isang katawan na nag-o-oscillating sa ilalim ng pagkilos ng isang nababanat na puwersa.

Pangkalahatang equation ng paggalaw:

Ang mga oscillations sa system ay nangyayari sa ilalim ng impluwensya ng nababanat na puwersa, na, ayon sa batas ni Hooke, ay direktang proporsyonal sa pag-aalis ng pagkarga.

Pagkatapos ang equation ng paggalaw ng bola ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Hatiin ang equation na ito sa m, nakukuha natin ang sumusunod na formula:

At dahil ang mass at elasticity coefficient ay pare-pareho ang dami, ang ratio (-k/m) ay magiging pare-pareho din. Nakakuha kami ng isang equation na naglalarawan sa mga vibrations ng isang katawan sa ilalim ng pagkilos ng elastic force.

Ang projection ng acceleration ng katawan ay direktang proporsyonal sa coordinate nito, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Equation ng paggalaw ng isang mathematical pendulum

Ang equation ng paggalaw ng isang mathematical pendulum ay inilalarawan ng sumusunod na formula:

Ang equation na ito ay may parehong anyo bilang ang equation ng paggalaw ng isang masa sa isang spring. Dahil dito, ang mga oscillations ng pendulum at ang mga paggalaw ng bola sa spring ay nangyayari sa parehong paraan.

Ang displacement ng bola sa spring at ang displacement ng pendulum body mula sa equilibrium position ay nagbabago sa paglipas ng panahon ayon sa parehong mga batas.

Ang mga pendulum na ipinapakita sa Fig. 2, kumakatawan sa pinalawak na mga katawan iba't ibang hugis at laki, umiikot sa paligid ng punto ng pagsususpinde o suporta. Ang ganitong mga sistema ay tinatawag na mga pisikal na pendulum. Sa isang estado ng equilibrium, kapag ang sentro ng grabidad ay nasa patayo sa ibaba ng punto ng suspensyon (o suporta), ang puwersa ng grabidad ay balanse (sa pamamagitan ng nababanat na puwersa ng isang deformed pendulum) sa pamamagitan ng reaksyon ng suporta. Kapag lumihis mula sa posisyon ng balanse, ang gravity at elastic na pwersa ay tinutukoy sa bawat sandali ng oras angular acceleration pendulum, ibig sabihin, matukoy ang kalikasan ng paggalaw nito (oscillation). Titingnan natin ngayon ang dynamics ng mga oscillations nang mas detalyado gamit ang pinakasimpleng halimbawa ng tinatawag na mathematical pendulum, na isang maliit na timbang na sinuspinde sa isang mahabang manipis na thread.

Sa isang mathematical pendulum, maaari nating pabayaan ang masa ng thread at ang pagpapapangit ng timbang, i.e. maaari nating ipagpalagay na ang masa ng pendulum ay puro sa timbang, at ang mga nababanat na puwersa ay puro sa thread, na itinuturing na hindi mapalawak. . Tingnan natin ngayon kung ano ang nagpipilit na mag-oscillate ang ating pendulum matapos itong alisin sa posisyon ng equilibrium nito sa ilang paraan (tulak, pagpapalihis).

Kapag ang pendulum ay nakapahinga sa posisyon ng balanse, ang puwersa ng gravity na kumikilos sa timbang nito at nakadirekta nang patayo pababa ay balanse ng puwersa ng pag-igting ng sinulid. Sa pinalihis na posisyon (Larawan 15), ang puwersa ng grabidad ay kumikilos sa isang anggulo sa puwersa ng pag-igting na nakadirekta sa sinulid. Hatiin natin ang puwersa ng grabidad sa dalawang bahagi: sa direksyon ng sinulid () at patayo dito (). Kapag ang pendulum ay nag-oscillates, ang puwersa ng pag-igting ng thread ay bahagyang lumampas sa bahagi - sa pamamagitan ng dami ng puwersa ng sentripetal, na pinipilit ang load na lumipat sa isang arko. Ang bahagi ay palaging nakadirekta patungo sa posisyon ng balanse; tila nagsusumikap siyang ibalik ang sitwasyong ito. Samakatuwid, madalas itong tinatawag na puwersa ng pagpapanumbalik. Ang mas maraming pendulum ay pinalihis, mas malaki ang ganap na halaga.

kanin. 15. Pagpapanumbalik ng puwersa kapag ang pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo

Kaya, sa sandaling ang pendulum, sa panahon ng mga oscillations nito, ay nagsimulang lumihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo, sabihin nating, sa kanan, isang puwersa ang lilitaw, na nagpapabagal sa paggalaw nito nang higit pa, lalo itong nalilihis. Sa huli, pipigilan siya ng puwersang ito at hihilahin siya pabalik sa posisyon ng ekwilibriyo. Gayunpaman, habang papalapit tayo sa posisyon na ito, ang puwersa ay bababa at bababa at sa mismong posisyon ng equilibrium ay magiging zero. Kaya, ang pendulum ay dumadaan sa posisyon ng equilibrium sa pamamagitan ng pagkawalang-galaw. Sa sandaling magsimula itong lumihis sa kaliwa, muling lilitaw ang isang puwersa, lumalaki nang may pagtaas ng paglihis, ngunit ngayon ay nakadirekta sa kanan. Ang paggalaw sa kaliwa ay muling bumagal, pagkatapos ay ang pendulum ay titigil ng ilang sandali, pagkatapos ay magsisimula ang pinabilis na paggalaw sa kanan, atbp.

Ano ang nangyayari sa enerhiya ng isang pendulum habang ito ay umiikot?

Dalawang beses sa panahon - sa pinakamalaking paglihis sa kaliwa at sa kanan - huminto ang pendulum, ibig sabihin, sa mga sandaling ito ang bilis ay zero, na nangangahulugang ang kinetic energy ay zero. Ngunit tiyak na sa mga sandaling ito na ang sentro ng grabidad ng palawit ay nakataas sa pinakamalaking taas at samakatuwid ang potensyal na enerhiya ay pinakamalaki. Sa kabaligtaran, sa mga sandali ng pagpasa sa posisyon ng balanse, ang potensyal na enerhiya ay ang pinakamababa, at ang bilis at kinetic na enerhiya ay umabot sa kanilang pinakamalaking halaga.

Ipagpalagay namin na ang friction forces ng pendulum laban sa hangin at ang friction sa suspension point ay maaaring mapabayaan. Pagkatapos, ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya, ang pinakamataas na kinetic energy na ito ay eksaktong katumbas ng labis ng potensyal na enerhiya sa posisyon ng pinakamalaking paglihis sa potensyal na enerhiya sa posisyon ng balanse.

Kaya, kapag ang pendulum ay nag-oscillates, isang panaka-nakang paglipat ng kinetic energy sa potensyal na enerhiya at vice versa ay nangyayari, at ang panahon ng prosesong ito ay kalahati hangga't ang panahon ng oscillation ng pendulum mismo. Gayunpaman kabuuang enerhiya pendulum (ang kabuuan ng potensyal at kinetic energies) ay pare-pareho sa lahat ng oras. Ito ay katumbas ng enerhiya na ibinigay sa pendulum sa paglulunsad, hindi mahalaga kung ito ay nasa anyo ng potensyal na enerhiya (paunang pagpapalihis) o sa anyo ng kinetic energy (paunang pagtulak).

Ito ang kaso sa anumang mga oscillations sa kawalan ng friction o anumang iba pang mga proseso na kumukuha ng enerhiya mula sa oscillating system o nagbibigay ng enerhiya dito. Iyon ang dahilan kung bakit ang amplitude ay nananatiling hindi nagbabago at tinutukoy ng paunang pagpapalihis o puwersa ng pagtulak.

Makakakuha kami ng parehong mga pagbabago sa puwersa ng pagpapanumbalik at ang parehong paglipat ng enerhiya kung, sa halip na ibitin ang bola sa isang sinulid, gagawin namin itong gumulong sa isang patayong eroplano sa isang spherical cup o sa isang uka na nakakurba sa kahabaan ng circumference. Sa kasong ito, ang papel ng pag-igting ng thread ay kukunin ng presyon ng mga dingding ng tasa o kanal (muling pinababayaan namin ang alitan ng bola laban sa mga dingding at hangin).

Ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang materyal na punto (katawan) na nakabitin sa isang hindi mapalawak na walang timbang na sinulid (ang masa nito ay bale-wala kumpara sa bigat ng katawan) sa isang pare-parehong gravitational field ay tinatawag na mathematical pendulum (isa pang pangalan ay isang oscillator). May iba pang mga uri ng device na ito. Sa halip na isang sinulid, maaaring gumamit ng walang timbang na pamalo. Ang isang mathematical pendulum ay maaaring malinaw na ibunyag ang kakanyahan ng maraming mga kagiliw-giliw na phenomena. Kapag ang vibration amplitude ay maliit, ang paggalaw nito ay tinatawag na harmonic.

Pangkalahatang-ideya ng Mechanical System

Ang pormula para sa panahon ng oscillation ng pendulum na ito ay hinango ng Dutch scientist na si Huygens (1629-1695). Ang kontemporaryong ito ni I. Newton ay lubhang interesado sa sistemang mekanikal na ito. Noong 1656 nilikha niya ang unang orasan na may mekanismo ng pendulum. Sinukat nila ang oras nang may pambihirang katumpakan para sa mga oras na iyon. Ang imbensyon na ito ay naging isang pangunahing yugto sa pagbuo ng mga pisikal na eksperimento at praktikal na aktibidad.

Kung ang pendulum ay nasa posisyon ng ekwilibriyo (nakabitin nang patayo), ito ay magiging balanse ng puwersa ng pag-igting ng sinulid. Ang isang flat pendulum sa isang inextensible thread ay isang sistema na may dalawang degree ng kalayaan na may pagkabit. Kapag binago mo ang isang bahagi lamang, nagbabago ang mga katangian ng lahat ng bahagi nito. Kaya, kung ang thread ay pinalitan ng isang baras, ang mekanikal na sistemang ito ay magkakaroon lamang ng 1 antas ng kalayaan. Anong mga katangian mayroon ang isang mathematical pendulum? Sa pinakasimpleng sistemang ito, lumilitaw ang kaguluhan sa ilalim ng impluwensya ng pana-panahong kaguluhan. Sa kaso kapag ang punto ng suspensyon ay hindi gumagalaw, ngunit oscillates, ang pendulum ay may isang bagong posisyon ng balanse. Sa mabilis na mga oscillations pataas at pababa, ang mekanikal na sistemang ito ay nakakakuha ng isang matatag na "baligtad" na posisyon. Mayroon din itong sariling pangalan. Ito ay tinatawag na Kapitsa pendulum.

Mga katangian ng isang pendulum

Ang mathematical pendulum ay may napakakagiliw-giliw na mga katangian. Lahat ng mga ito ay kinumpirma ng mga kilalang pisikal na batas. Ang panahon ng oscillation ng anumang iba pang pendulum ay nakasalalay sa iba't ibang mga pangyayari, tulad ng laki at hugis ng katawan, ang distansya sa pagitan ng punto ng suspensyon at sentro ng grabidad, at ang pamamahagi ng masa na nauugnay sa puntong ito. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagtukoy sa panahon ng pabitin ng isang katawan ay medyo mahirap na gawain. Mas madaling kalkulahin ang panahon ng isang mathematical pendulum, ang formula kung saan ibibigay sa ibaba. Bilang resulta ng mga obserbasyon ng mga katulad na mekanikal na sistema, ang mga sumusunod na pattern ay maaaring maitatag:

Kung, habang pinapanatili ang parehong haba ng pendulum, sinuspinde namin ang iba't ibang mga timbang, kung gayon ang panahon ng kanilang mga oscillations ay magiging pareho, bagaman ang kanilang mga masa ay mag-iiba nang malaki. Dahil dito, ang panahon ng naturang pendulum ay hindi nakasalalay sa masa ng pagkarga.

Kung, kapag sinimulan ang system, ang pendulum ay pinalihis ng hindi masyadong malaki, ngunit iba't ibang anggulo, pagkatapos ay magsisimula itong mag-oscillate sa parehong panahon, ngunit may iba't ibang mga amplitude. Hangga't ang mga paglihis mula sa sentro ng ekwilibriyo ay hindi masyadong malaki, ang mga vibrations sa kanilang anyo ay magiging malapit sa mga harmonic. Ang panahon ng naturang pendulum ay hindi nakasalalay sa anumang paraan sa oscillatory amplitude. Ang pag-aari na ito ng isang ibinigay na mekanikal na sistema ay tinatawag na isochronism (isinalin mula sa Greek na "chronos" - oras, "isos" - katumbas).

Panahon ng isang mathematical pendulum

Ang tagapagpahiwatig na ito ay kumakatawan sa panahon Sa kabila ng kumplikadong pagbabalangkas, ang proseso mismo ay napaka-simple. Kung ang haba ng thread ng isang mathematical pendulum ay L, at ang acceleration ng free fall ay g, kung gayon ang halagang ito ay katumbas ng:

Ang panahon ng maliliit na natural na oscillations ay hindi nakasalalay sa anumang paraan sa masa ng pendulum at ang amplitude ng mga oscillations. Sa kasong ito, ang pendulum ay gumagalaw bilang isang matematikal na may pinababang haba.

Oscillations ng isang mathematical pendulum

Ang isang mathematical pendulum ay nag-o-oscillate, na maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang simpleng differential equation:

x + ω2 sin x = 0,

kung saan ang x (t) ay isang hindi kilalang function (ito ang anggulo ng paglihis mula sa posisyon sa ibaba ekwilibriyo sa sandaling t, ipinahayag sa radians); Ang ω ay isang positibong pare-pareho, na tinutukoy mula sa mga parameter ng pendulum (ω = √g/L, kung saan ang g ay ang acceleration ng gravity, at ang L ay ang haba ng mathematical pendulum (suspension).

Ang equation para sa maliliit na vibrations malapit sa equilibrium position (harmonic equation) ay ganito ang hitsura:

x + ω2 sin x = 0

Mga oscillatory na paggalaw ng isang pendulum

Ang isang mathematical pendulum, na gumagawa ng maliliit na oscillations, ay gumagalaw sa isang sinusoid. Natutugunan ng second order differential equation ang lahat ng mga kinakailangan at parameter ng naturang paggalaw. Upang matukoy ang tilapon, kinakailangan upang itakda ang bilis at coordinate, kung saan matutukoy ang mga independiyenteng constant:

x = Isang kasalanan (θ 0 + ωt),

kung saan ang θ 0 ay ang paunang yugto, A ay ang oscillation amplitude, ω ay ang cyclic frequency na tinutukoy mula sa equation ng paggalaw.

Mathematical pendulum (mga formula para sa malalaking amplitude)

Ang mekanikal na sistemang ito, na nag-o-oscillate na may makabuluhang amplitude, ay napapailalim sa mas kumplikadong mga batas ng paggalaw. Para sa naturang pendulum sila ay kinakalkula ayon sa formula:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

kung saan ang sn ay ang Jacobi sine, na para sa iyo< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

kung saan ang ε = E/mL2 (mL2 ay ang enerhiya ng pendulum).

Ang panahon ng oscillation ng isang nonlinear pendulum ay tinutukoy gamit ang formula:

kung saan ang Ω = π/2 * ω/2K(u), ang K ay ang elliptic integral, π - 3,14.

Ang paggalaw ng isang palawit sa kahabaan ng isang separatrix

Ang isang separatrix ay ang trajectory ng isang dynamical system na may dalawang-dimensional na phase space. Ang isang mathematical pendulum ay gumagalaw kasama nito nang hindi pana-panahon. Sa isang walang katapusang malayong sandali sa oras, ito ay bumagsak mula sa pinakamataas na posisyon nito patungo sa gilid na may zero na bilis, pagkatapos ay unti-unting nakuha ito. Maya-maya ay huminto ito, bumabalik sa orihinal nitong posisyon.

Kung ang amplitude ng mga oscillations ng pendulum ay lumalapit sa numero π , ito ay nagpapahiwatig na ang paggalaw sa phase plane ay papalapit sa separatrix. Sa kasong ito, sa ilalim ng impluwensya ng isang maliit na pana-panahong puwersa sa pagmamaneho, ang mekanikal na sistema ay nagpapakita ng magulong pag-uugali.

Kapag ang isang mathematical pendulum ay lumihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo na may isang tiyak na anggulo φ, isang tangential force ng gravity Fτ = -mg sin φ ay bumangon. Ang minus sign ay nangangahulugan na ang tangential component na ito ay nakadirekta sa direksyon na kabaligtaran sa pagpapalihis ng pendulum. Kapag tinutukoy ng x ang displacement ng pendulum kasama ang isang circular arc na may radius L, ang angular displacement nito ay katumbas ng φ = x/L. Ang pangalawang batas, na nilayon para sa mga projection at puwersa, ay magbibigay ng nais na halaga:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Batay sa relasyong ito, malinaw na ang pendulum na ito ay isang nonlinear system, dahil ang puwersa na may posibilidad na ibalik ito sa posisyon ng ekwilibriyo ay palaging proporsyonal hindi sa displacement x, ngunit sa sin x/L.

Tanging kapag ang isang mathematical pendulum ay nagsasagawa ng maliliit na oscillations ito ay isang harmonic oscillator. Sa madaling salita, ito ay nagiging isang mekanikal na sistema na may kakayahang magsagawa ng mga harmonic oscillations. Ang pagtatantya na ito ay praktikal na wasto para sa mga anggulo ng 15-20°. Ang mga oscillations ng isang pendulum na may malalaking amplitude ay hindi harmonic.

Ang batas ni Newton para sa maliliit na oscillations ng isang pendulum

Kung ang isang ibinigay na mekanikal na sistema ay nagsasagawa ng maliliit na oscillations, ang ika-2 batas ng Newton ay magiging ganito:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Batay dito, maaari nating tapusin na ang isang mathematical pendulum ay proporsyonal sa displacement nito na may minus sign. Ito ang kondisyon kung saan ang sistema ay nagiging isang harmonic oscillator. Ang modulus ng proportionality coefficient sa pagitan ng displacement at acceleration ay katumbas ng square ng circular frequency:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Ang formula na ito ay sumasalamin sa natural na dalas ng maliliit na oscillations ng ganitong uri ng pendulum. Batay sa mga ito,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Mga kalkulasyon batay sa batas ng konserbasyon ng enerhiya

Ang mga katangian ng isang pendulum ay maaari ding ilarawan gamit ang batas ng konserbasyon ng enerhiya. Dapat itong isaalang-alang na ang pendulum sa gravitational field ay katumbas ng:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Ang kabuuan ay katumbas ng kinetic o maximum na potensyal: Epmax = Ekmsx = E

Matapos maisulat ang batas ng konserbasyon ng enerhiya, kunin ang derivative ng kanan at kaliwang bahagi ng equation:

Dahil ang derivative ng pare-parehong dami ay katumbas ng 0, kung gayon (Ep + Ek)" = 0. Ang derivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

kaya:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Batay sa huling formula, makikita natin ang: α = - g/L*x.

Praktikal na aplikasyon ng isang mathematical pendulum

Nag-iiba ang acceleration sa latitude dahil density crust ng lupa ay hindi pareho sa buong planeta. Kung saan nangyayari ang mga bato na may mas mataas na density, ito ay bahagyang mas mataas. Ang acceleration ng isang mathematical pendulum ay kadalasang ginagamit para sa geological exploration. Ginagamit ito sa paghahanap ng iba't ibang mineral. Sa pamamagitan lamang ng pagbibilang ng bilang ng mga oscillations ng isang pendulum, makikita ng isa sa kailaliman ng Earth uling o mineral. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang mga naturang fossil ay may density at mass na mas malaki kaysa sa pinagbabatayan na maluwag na mga bato.

Ang mathematical pendulum ay ginamit ng mga natatanging siyentipiko tulad nina Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Marami sa kanila ang naniniwala na ang mekanikal na sistemang ito ay maaaring makaimpluwensya sa kapalaran at buhay ng isang tao. Gumamit si Archimedes ng mathematical pendulum sa kanyang mga kalkulasyon. Sa ngayon, maraming mga okultista at saykiko ang gumagamit ng mekanikal na sistemang ito upang matupad ang kanilang mga propesiya o maghanap ng mga nawawalang tao.

Ang sikat na Pranses na astronomo at naturalista na si K. Flammarion ay gumamit din ng mathematical pendulum para sa kanyang pananaliksik. Sinabi niya na sa kanyang tulong ay nahulaan niya ang pagtuklas ng isang bagong planeta, ang hitsura ng Tunguska meteorite at iba pa. mahahalagang pangyayari. Noong Ikalawang Digmaang Pandaigdig, isang dalubhasang Pendulum Institute ang nagpatakbo sa Germany (Berlin). Sa ngayon, ang Munich Institute of Parapsychology ay nakikibahagi sa katulad na pananaliksik. Tinatawag ng mga empleyado ng establisyimentong ito ang kanilang trabaho gamit ang pendulum na "radiesthesia."