Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga pangunahing katangian ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito."
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.
Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 8
Combinatorics at probability theory Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay
Panimula sa Numerical Inequalities
Guys, nakatagpo na tayo ng mga hindi pagkakapantay-pantay, halimbawa, noong nagsimula tayong maging pamilyar sa konsepto ng square root. Sa madaling salita, gamit ang mga hindi pagkakapantay-pantay maaari mong tantiyahin kung alin sa mga ibinigay na numero ang mas malaki o mas kaunti. Para sa isang matematikal na paglalarawan ito ay sapat na upang magdagdag espesyal na karakter, na nangangahulugang higit pa o mas kaunti.Ang pagsusulat ng expression na $a>b$ sa mathematical language ay nangangahulugan na ang bilang na $a$ mas maraming numero$b$. Sa turn, nangangahulugan ito na ang $a-b$ ay isang positibong numero.
Pagsulat ng ekspresyong $a
Tulad ng halos lahat ng mga bagay sa matematika, ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may ilang mga katangian. Pag-aaralan natin ang mga katangiang ito sa araling ito.
Ari-arian 1.
Kung $a>b$ at $b>c$, kung gayon ang $a>c$.
Patunay.
Malinaw, $10>5$, at $5>2$, at siyempre $10>2$. Ngunit ang matematika ay mahilig sa mahigpit na mga patunay para sa pinaka-pangkalahatang kaso.
Kung $a>b$, ang $a-b$ ay isang positibong numero. Kung $b>c$, ang $b-c$ ay isang positibong numero. Idagdag natin ang dalawang resultang positibong numero.
$a-b+b-c=a-c$.
Ang kabuuan ng dalawang positibong numero ay isang positibong numero, ngunit ang $a-c$ ay isa ring positibong numero. Mula sa kung saan ito ay sumusunod na $a>c$. Ang ari-arian ay napatunayan na.
Mas malinaw na maipapakita ang property na ito gamit ang number line. Kung $a>b$, ang numerong $a$ sa linya ng numero ay nasa kanan ng $b$. Alinsunod dito, kung $b>c$, ang numerong $b$ ay makikita sa kanan ng numerong $c$.
Tulad ng makikita mula sa figure, ang point $a$ sa aming kaso ay matatagpuan sa kanan ng point $c$, na nangangahulugang $a>c$.
Ari-arian 2.
Kung $a>b$, pagkatapos ay $a+c>b+c$.
Sa madaling salita, kung ang bilang na $a$ ay mas malaki kaysa sa bilang na $b$, kung gayon kahit anong numero ang idagdag natin (positibo o negatibo) sa mga numerong ito, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay mapangalagaan din. Ang ari-arian na ito ay napakadaling patunayan. Kailangan mong gumawa ng pagbabawas. Ang variable na idinagdag ay mawawala at ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay magiging tama.
Ari-arian 3.
a) Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng isang positibong numero, kung gayon ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili.
Kung $a>b$ at $c>0$, kung gayon ang $ac>bc$.
b) Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami ng negatibong numero, dapat na baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
Kung $a>b$ at $c Kung $a
Kapag naghahati, dapat kang magpatuloy sa parehong paraan (hatiin sa isang positibong numero - ang tanda ay nananatiling pareho, hatiin sa isang negatibong numero - nagbabago ang tanda).
Ari-arian 4.
Kung $a>b$ at $c>d$, kung gayon ang $a+c>b+d$.
Patunay.
Mula sa kundisyon: $a-b$ ay isang positibong numero at $c-d$ ay isang positibong numero.
Pagkatapos ang kabuuan na $(a-b)+(c-d)$ ay isa ring positibong numero.
Magpalit tayo ng ilang terminong $(a+c)-(b+d)$.
Ang pagpapalit ng mga lugar ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan.
Nangangahulugan ito na ang $(a+c)-(b+d)$ ay isang positibong numero at $a+c>b+d$.
Ang ari-arian ay napatunayan na.
Ari-arian 5.
Kung $a, b ,c, d$ - mga positibong numero at $a>b$, $c>d$, pagkatapos ay $ac>bd$.
Patunay.
Dahil $a>b$ at $c>0$, pagkatapos, gamit ang property 3, mayroon kaming $ac>bc$.
Dahil $c>d$ at $b>0$, pagkatapos, gamit ang property 3, mayroon kaming $cb>bd$.
Kaya, $ac>bc$ at $bc >bd$.
Pagkatapos, gamit ang property 1, nakukuha namin ang $ac>bd$. Q.E.D.
Kahulugan.
Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $a>b$ at $c>d$ ($a
Pagkatapos ay maaaring i-rephrase ang property 5. Kapag nagpaparami ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, na ang kaliwa at kanang bahagi ay positibo, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay nakuha.
Ari-arian 6.
Kung $a>b$ ($a>0$, $b>0$), kung gayon ang $a^n>b^n$, kung saan ang $n$ ay anumang natural na numero.
Kung ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay mga positibong numero at sila ay itinaas sa parehong natural na kapangyarihan, kung gayon ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may parehong kahulugan ay makukuha.
Tandaan: kung $n$ – kakaibang numero, pagkatapos ay para sa anumang numerong $a$ at $b$ ng anumang palatandaan, ang Property 6 ay nasiyahan.
Ari-arian 7.
Kung $a>b$ ($a>0$, $b>0$), kung gayon ay $\frac(1)(a)
Patunay.
Upang patunayan ang property na ito, kailangang ibawas ang $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ upang makakuha ng negatibong numero.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
Alam namin na ang $a-b$ ay isang positibong numero, at ang produkto ng dalawang positibong numero ay isa ring positibong numero, i.e. $ab>0$.
Pagkatapos ang $\frac(-(a-b))(ab)$ ay isang negatibong numero. Ang ari-arian ay napatunayan na.
Ari-arian 8.
Kung $a>0$, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon: $a+\frac(1)(a)≥2$.
Patunay.
Isaalang-alang natin ang pagkakaiba.
Ang $a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ ay isang hindi-negatibong numero.
Ang ari-arian ay napatunayan na.
Ari-arian 9. Ang hindi pagkakapantay-pantay ni Cauchy (ang arithmetic mean ay mas malaki kaysa o katumbas ng geometric mean).
Kung ang $a$ at $b$ ay mga di-negatibong numero, ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
Patunay.
Isaalang-alang natin ang pagkakaiba:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ ay isang hindi negatibong numero.
Ang ari-arian ay napatunayan na.
Mga halimbawa ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay
Halimbawa 1.Ito ay kilala na $-1.5
b) $-2b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^2$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
Solusyon.
a) Gamitin natin ang ari-arian 3. I-multiply sa isang positibong numero, na nangangahulugang hindi nagbabago ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.
$-1.5*3
B) Gamitin natin ang ari-arian 3. I-multiply sa isang negatibong numero, na nangangahulugang ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago. D) I-multiply ang lahat ng bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay $3.1 D) Ang lahat ng mga bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, pag-squaring ang mga ito, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan. E) Ang antas ng hindi pagkakapantay-pantay ay kakaiba, pagkatapos ay maaari mong ligtas na itaas ito sa isang kapangyarihan at hindi baguhin ang tanda. G) Gamitin natin ang property 7. Halimbawa 2. Solusyon. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga ari-arian Ang pagtatanghal ay nagdedetalye ng nilalaman ng mga paksang NUMERICAL INEQUALITIES at PROPERTIES OF NUMERICAL INEQUALITIES, at nagbibigay ng mga halimbawa ng pagpapatunay ng mga numerical inequalities. (Algebra ika-8 baitang, may-akda Makarychev Yu.N.) Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga ari-arian guro ng matematika sa institusyong pang-edukasyon ng munisipyo "Sekondaryang paaralan ng Upshinskaya" Orsha distrito ng Republika ng Mari El (Sa aklat-aralin ni Yu.A. Makarychev Algebra 8 Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero Ang resulta ng paghahambing ng dalawa o higit pang mga numero ay nakasulat sa anyo ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang mga palatandaan
,
, =
Inihahambing namin ang mga numero gamit iba-iba mga tuntunin (pamamaraan). Ito ay maginhawa upang magkaroon ng isang pangkalahatan isang paraan ng paghahambing na sumasaklaw sa lahat ng kaso. Kahulugan:
Numero A
ay mas malaki kaysa sa b kung ang pagkakaiba ( a
– b) ay isang positibong numero. Numero A
ay mas mababa sa b kung ang pagkakaiba ( a
– b) ay isang negatibong numero. Numero A
katumbas ng bilang b kung ang pagkakaiba ( a
– b) – katumbas ng zero Isang pangkalahatang paraan upang ihambing ang mga numero Halimbawa 1. Paglalapat ng isang pangkalahatang paraan ng paghahambing ng mga numero upang patunayan ang mga hindi pagkakapantay-pantay Halimbawa 2. Patunayan na ang arithmetic mean ng dalawang positibong numero ay hindi bababa sa geometric mean ng mga numerong ito. Kung ang magkabilang panig ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o hinati sa parehong positibong numero, makakakuha ka ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. Kung ang magkabilang panig ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay ay pinarami o hinati sa parehong negatibong numero at ang palatandaan ng hindi pagkakapantay-pantay ay nababaligtad, makakakuha ka ng isang tunay na hindi pagkakapantay-pantay. P = 3a I-multiply ng 3 magkabilang panig ng bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay 54.2 ∙ 3 a ∙ 3 162,6
Paglalapat ng Mga Katangian ng Mga Hindi Pagkakapantay-pantay ng Numero Ang hanay ng lahat ng tunay na numero ay maaaring katawanin bilang unyon ng tatlong hanay: ang hanay ng mga positibong numero, ang hanay ng mga negatibong numero at ang hanay na binubuo ng isang numero - ang numerong zero. Upang ipahiwatig na ang numero A positibo, gamitin ang pag-record a > 0, para magpahiwatig ng negatibong numero gumamit ng ibang notasyon a< 0
. Ang kabuuan at produkto ng mga positibong numero ay mga positibong numero din. Kung ang bilang A negatibo, pagkatapos ay ang numero -A positibo (at kabaliktaran). Para sa anumang positibong numero a mayroong positibong rational na numero r, Ano r< а
. Ang mga katotohanang ito ay sumasailalim sa teorya ng hindi pagkakapantay-pantay. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay a > b (o, ano ang pareho, b< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0, ibig sabihin, kung positibo ang numerong a - b. Isaalang-alang, sa partikular, ang hindi pagkakapantay-pantay A< 0
. Ano ang ibig sabihin ng hindi pagkakapantay-pantay na ito? Ayon sa kahulugan sa itaas, nangangahulugan ito na 0 - a > 0, ibig sabihin. -a > 0 o, sa madaling salita, ano ang numero -A positibo. Ngunit ito ay nagaganap kung at kung ang numero lamang A negatibo. Kaya hindi pagkakapantay-pantay A< 0
nangangahulugan na ang numero ngunit negatibo. Madalas ding ginagamit ang notasyon ab(o, ano ang pareho, ba). (a b) [(a > b) V (a = b)] Halimbawa 1. Totoo ba ang mga hindi pagkakapantay-pantay 5 0, 0 0? Ang hindi pagkakapantay-pantay 5 0 ay isang kumplikadong pahayag na binubuo ng dalawang simpleng pahayag na konektado ng lohikal na nag-uugnay na "o" (disjunction). Alinman sa 5 > 0 o 5 = 0. Ang unang pahayag 5 > 0 ay tama, ang pangalawang pahayag 5 = 0 ay mali. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang disjunction, ang ganitong komplikadong pahayag ay totoo. Ang entry 00 ay tinalakay nang katulad. Mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a > b, a< b
tatawagin natin silang mahigpit, at hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ab, ab- hindi mahigpit. Mga hindi pagkakapantay-pantay a > b At c > d(o A< b
At Sa< d
) ay tatawaging mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, at mga hindi pagkakapantay-pantay a > b At c< d
- hindi pagkakapantay-pantay ng magkasalungat na kahulugan. Tandaan na ang dalawang terminong ito (mga hindi pagkakapantay-pantay ng pareho at magkasalungat na kahulugan) ay tumutukoy lamang sa anyo ng pagsulat ng mga hindi pagkakapantay-pantay, at hindi sa mga katotohanang mismong ipinahayag ng mga hindi pagkakapantay-pantay na ito. Kaya, may kaugnayan sa hindi pagkakapantay-pantay A< b
hindi pagkakapantay-pantay Sa< d
ay isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, at sa notasyon d>c(ibig sabihin ang parehong bagay) - isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan. Kasama ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyo a>b, ab ginagamit ang tinatawag na double inequalities, ibig sabihin, inequalities ng form A< с < b
, ac< b
, a< cb
, A< с < b
(1) A< с
At Sa< b.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay may magkatulad na kahulugan acb, ac< b, а < сb.
Ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: (a< c < b) [(a < c) & (c < b)] at dobleng hindi pagkakapantay-pantay a ≤ c ≤ b maaaring isulat sa sumusunod na anyo: (a c b) [(a< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)] Magpatuloy tayo ngayon sa pagtatanghal ng mga pangunahing katangian at mga tuntunin ng pagkilos sa hindi pagkakapantay-pantay, na sumang-ayon na sa artikulong ito ang mga titik a, b, c tumayo para sa mga tunay na numero, at n ibig sabihin natural na numero. 1) Kung a > b at b > c, pagkatapos ay a > c (transitivity). Patunay. Dahil sa kondisyon a > b At b > c, pagkatapos ay ang mga numero a - b At b - c ay positibo, at samakatuwid ang bilang a - c = (a - b) + (b - c), bilang kabuuan ng mga positibong numero, ay positibo rin. Nangangahulugan ito, sa pamamagitan ng kahulugan, na a > c. 2) Kung a > b, kung gayon para sa alinmang c ang hindi pagkakapantay-pantay ay hawak ng a + c > b + c. Patunay. kasi a > b, pagkatapos ay ang numero a - b positibo. Samakatuwid, ang bilang (a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b ay positibo rin, i.e. 3) Kung a + b > c, pagkatapos ay a > b - c, ibig sabihin, ang anumang termino ay maaaring ilipat mula sa isang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay patungo sa isa pa sa pamamagitan ng pagbabago ng tanda ng terminong ito sa kabaligtaran. Ang patunay ay sumusunod mula sa ari-arian 2) ito ay sapat para sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a + b > c magdagdag ng numero - b. 4) Kung a > b at c > d, a + c > b + d, ibig sabihin, kapag nagdaragdag ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay nakuha. Patunay. Sa bisa ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay, sapat na upang ipakita na ang pagkakaiba Bunga. Mula sa mga tuntunin 2) at 4) ang sumusunod na Panuntunan para sa pagbabawas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod: kung a > b, c > d, Iyon a - d > b - c(para sa patunay, sapat na upang ilapat ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay a + c > b + d magdagdag ng numero - c - d). 5) Kung a > b, kung gayon para sa c > 0 mayroon tayong ac > bc, at para sa c< 0 имеем ас < bc.
Sa madaling salita, kapag pina-multiply ang magkabilang panig ng isang hindi pagkakapantay-pantay sa alinman sa isang positibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay pinapanatili (ibig sabihin, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay nakuha), ngunit kapag pinarami ng isang negatibong numero, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran. (i.e., isang hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan ay nakuha. Patunay. Kung a > b, Iyon a - b ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang tanda ng pagkakaiba ac-bc = c(a - b) tumutugma sa tanda ng numero Sa: Kung Sa ay isang positibong numero, pagkatapos ay ang pagkakaiba ac - bc ay positibo at samakatuwid ac > bc, at kung Sa< 0
, kung gayon ang pagkakaibang ito ay negatibo at samakatuwid bc - ac positibo, i.e. bc > ac. 6) Kung a > b > 0 at c > d > 0, pagkatapos ay ac > bd, ibig sabihin, kung ang lahat ng mga termino ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay positibo, kung gayon kapag pinarami ang mga hindi pagkakapantay-pantay na termino sa pamamagitan ng termino, isang hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan ay nakuha. Patunay. Meron kami ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). kasi c > 0, b > 0, a - b > 0, c - d > 0, pagkatapos ay ac - bd > 0, ibig sabihin, ac > bd. Magkomento. Mula sa patunay ay malinaw na ang kondisyon d > 0 sa pagbabalangkas ng ari-arian 6) ay hindi mahalaga: para maging wasto ang ari-arian na ito, sapat na ang mga kundisyon ay matugunan a > b > 0, c > d, c > 0. Kung (kung ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay natupad a > b, c > d) numero a, b, c hindi lahat ay magiging positibo, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ac > bd maaaring hindi matupad. Halimbawa, kapag A = 2, b =1, c= -2, d= -3 meron tayo a > b, c > d, ngunit hindi pagkakapantay-pantay ac > bd(ibig sabihin -4 > -3) ay nabigo. Kaya, ang pangangailangan na ang mga numero a, b, c ay positibo sa pagbabalangkas ng ari-arian 6) ay mahalaga. 7) Kung a ≥ b > 0 at c > d > 0, kung gayon (dibisyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay). Patunay. Meron kami Magkomento. Tandaan natin ang isang mahalagang espesyal na kaso ng panuntunan 7), nakuha sa a = b = 1: kung c > d > 0, kung gayon. Kaya, kung ang mga tuntunin ng hindi pagkakapantay-pantay ay positibo, kung gayon kapag pumasa sa mga katumbasan ay nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng kabaligtaran na kahulugan. Inaanyayahan namin ang mga mambabasa na suriin kung ang panuntunang ito ay nasa 7) Kung ab > 0 at c > d > 0, kung gayon (dibisyon ng mga hindi pagkakapantay-pantay). Patunay. yun. Napatunayan namin sa itaas ang ilang mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay na nakasulat gamit ang sign >
(higit pa). Gayunpaman, ang lahat ng mga katangiang ito ay maaaring mabuo gamit ang tanda <
(mas kaunti), dahil hindi pagkakapantay-pantay b< а
ibig sabihin, sa kahulugan, ay kapareho ng hindi pagkakapantay-pantay a > b. Bilang karagdagan, tulad ng madaling i-verify, ang mga pag-aari na napatunayan sa itaas ay totoo rin para sa mga hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, ang ari-arian 1) para sa hindi mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon susunod na view: Kung ab at bc, Iyon ac. Siyempre, hindi nililimitahan ng nasa itaas ang mga pangkalahatang katangian ng hindi pagkakapantay-pantay. Mayroong ilang iba pang mga hindi pagkakapantay-pantay pangkalahatang pananaw nauugnay sa pagsasaalang-alang ng kapangyarihan, exponential, logarithmic at trigonometriko function. Ang pangkalahatang diskarte para sa pagsulat ng ganitong uri ng hindi pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod. Kung ilang function y = f(x) monotonically tumataas sa segment [a, b], pagkatapos para sa x 1 > x 2 (kung saan nabibilang ang x 1 at x 2 sa segment na ito) mayroon kaming f (x 1) > f(x 2). Gayundin, kung ang function y = f(x) monotonically bumababa sa pagitan [a, b], tapos kailan x 1 > x 2 (saan x 1 At X 2 belong to this segment) meron tayo f(x 1)< f(x 2
). Siyempre, ang sinabi ay hindi naiiba sa kahulugan ng monotonicity, ngunit ang pamamaraan na ito ay napaka-maginhawa para sa pagsasaulo at pagsulat ng mga hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, halimbawa, para sa anumang natural na numero n ang function y = x n ay monotonically pagtaas sa kahabaan ng ray , na isang hanay ng mga solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. 5. Paglutas ng mga rational inequalities gamit ang interval method Ang paraan ng pagitan ay batay sa sumusunod na katangian ng binomial ( Ha): tuldok x=α hinahati ang linya ng numero sa dalawang bahagi - sa kanan ng punto α
binomial (x‑α)>0, at sa kaliwa ng punto α (x-α) . Ipagpalagay na kailangan nating lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, kung saan ang α 1, α 2 ...α n-1, α n ay mga nakapirming numero, kung saan walang mga katumbas, at tulad ng α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x ‑ α n)>0 gamit ang interval method, magpatuloy sa mga sumusunod: ang mga numerong α 1, α 2 ...α n-1, α n ay naka-plot sa numerical axis; sa pagitan sa kanan ng pinakamalaki sa kanila, i.e. numero α n, maglagay ng “plus” sign, sa pagitan na kasunod nito mula kanan papuntang kaliwa ay maglagay ng “minus” sign, pagkatapos ay “plus” sign, pagkatapos ay “minus” sign, atbp. Pagkatapos ang hanay ng lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 ang magiging unyon ng lahat ng mga pagitan kung saan inilalagay ang plus sign, at ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) ang magiging unyon ng lahat ng pagitan kung saan inilalagay ang minus sign. 1) Ang solusyon ng mga rational inequalities (i.e. inequalities ng anyong P(x) Q(x) kung saan ang mga polynomial) ay batay sa sumusunod na katangian ng isang tuluy-tuloy na function: kung ang isang tuluy-tuloy na function ay naglaho sa mga puntos na x1 at x2 (x1;x2 ) at sa pagitan ng mga puntong ito ay walang ibang mga ugat, pagkatapos ay sa mga pagitan (x1; x2) pinapanatili ng function ang tanda nito. Samakatuwid, upang mahanap ang mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ng function na y=f(x) sa linya ng numero, markahan ang lahat ng mga punto kung saan ang function na f(x) ay naglalaho o nagdurusa ng discontinuity. Hinahati ng mga puntong ito ang linya ng numero sa ilang mga pagitan, sa loob ng bawat isa kung saan ang function na f(x) ay tuloy-tuloy at hindi naglalaho, i.e. nagse-save ng sign. Upang matukoy ang sign na ito, sapat na upang mahanap ang sign ng function sa anumang punto ng itinuturing na pagitan ng linya ng numero. 2) Upang matukoy ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang rational function, i.e. Upang malutas ang isang makatwirang hindi pagkakapantay-pantay, minarkahan namin sa linya ng numero ang mga ugat ng numerator at ang mga ugat ng denominator, na siya ring mga ugat at breakpoint ng rational function. Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng pagitan Solusyon. Rehiyon mga katanggap-tanggap na halaga ay tinutukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay: Para sa function f(x)= - 20. Hanapin f(x): saan x= 29 at x = 13. f(30) = - 20 = 0,3 > 0, f(5) = - 1 - 20 = - 10 Sagot: }
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
c) Pagdaragdag ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan, nakakakuha tayo ng hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan.
$-1.5+3.1
Ngayon gawin natin ang operasyon ng karagdagan.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Ihambing ang mga numero:
a) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ at $2+\sqrt(8)$.
b) $π+\sqrt(8)$ at $4+\sqrt(10)$.
a) I-square natin ang bawat bilang.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
Kalkulahin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng mga parisukat na ito.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
Malinaw, nakakuha kami ng positibong numero, na nangangahulugang:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
Dahil ang parehong mga numero ay positibo, kung gayon:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa
1. Alam na ang $-2.2
a) $4a$.
b) $-3b$.
c) $a+b$.
d) $a-b$.
e) $b^4$.
e) $a^3$.
g) $\frac(1)(b)$.
2. Ihambing ang mga numero:
a) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ at $3+\sqrt(7)$.
b) $π+\sqrt(5)$ at $2+\sqrt(3)$. Tingnan ang mga nilalaman ng dokumento
"Mga hindi pagkakapantay-pantay ng numero at ang kanilang mga katangian"
Itala ab, sa pamamagitan ng kahulugan, ay nangangahulugan na alinman a > b, o a = b. Kung isasaalang-alang natin ang talaan ab bilang isang hindi tiyak na pahayag, pagkatapos ay sa notasyon ng matematikal na lohika maaari tayong sumulat
acb. Sa pamamagitan ng kahulugan, isang talaan
nangangahulugan na ang parehong hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
a + c > b + c.
(a + c) - (b + c) positibo. Ang pagkakaibang ito ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
(a + c) - (b + d) = (a - b) + (c - d).
Dahil ayon sa kondisyon ng numero a - b At c - d ay positibo, kung gayon (a + c) - (b + d) mayroon ding positibong numero.
Ang numerator ng fraction sa kanang bahagi ay positibo (tingnan ang mga katangian 5), 6)), ang denominator ay positibo rin. Kaya naman,. Ito ay nagpapatunay ng ari-arian 7).