Статьи по естественным наукам и математике
Свойства степеней с одинаковыми основаниями
Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это
Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует .
Запишем эти свойства-правила в виде формул:
Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
5 2 × 5 3 = 5 5 - здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - пять в квадрате - это пять умноженное на пять, а в кубе - произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 5 5 .
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Запишем деление в виде дроби:
Ее можно сократить:
В результате получим:
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.
Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу a m ÷ a n = a m–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.
Перейдем к третьему свойству:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
Запишем в развернутом виде:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.
scienceland.info
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
a m · a n = a m + n , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4
Ответ: t = 3 4 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
-
Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
(a n) m = a n · m , где « a » - любое число, а « m », « n » - любые натуральные числа.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
(a n · b n)= (a · b) n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » - любые рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное число.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Умножение и деление чисел со степенями
Если вам нужно возвести какое-то конкретное число в степень, можете воспользоваться таблицей степеней натуральных чисел от 2 до 25 по алгебре. А сейчас мы более подробно остановимся на свойствах степеней .
Экспоненциальные числа
открывают большие возможности, они позволяют нам преобразовать умножение в сложение, а складывать гораздо легче, чем умножать.
Например, нам надо умножить 16 на 64. Произведение от умножения этих двух чисел равно 1024. Но 16 – это 4×4, а 64 – это 4х4х4. То есть 16 на 64=4x4x4x4x4, что также равно 1024.
Число 16 можно представить также в виде 2х2х2х2, а 64 как 2х2х2х2х2х2, и если произвести умножение, мы опять получим 1024.
А теперь используем правило возведения числа в степень. 16=4 2 , или 2 4 , 64=4 3 , или 2 6 , в то же время 1024=6 4 =4 5 , или 2 10 .
Следовательно, нашу задачу можно записать по-другому: 4 2 х4 3 =4 5 или 2 4 х2 6 =2 10 , и каждый раз мы получаем 1024.
Мы можем решить ряд аналогичных примеров и увидим, что умножение чисел со степенями сводится к сложению показателей степени , или экспонент, разумеется, при том условии, что основания сомножителей равны.
Таким образом, мы можем, не производя умножения, сразу сказать, что 2 4 х2 2 х2 14 =2 20 .
Это правило справедливо также и при делении чисел со степенями, но в этом случае экспонента делителя вычитается из экспоненты делимого . Таким образом, 2 5:2 3 =2 2 , что в обычных числах равно 32:8=4, то есть 2 2 . Подведем итоги:
a m х a n =a m+n , a m: a n =a m-n , где m и n - целые числа.
С первого взгляда может показаться, что такое умножение и деление чисел со степенями не очень удобно, ведь сначала надо представить число в экспоненциальной форме. Нетрудно представить в такой форме числа 8 и 16, то есть 2 3 и 2 4 , но как это сделать с числами 7 и 17? Или как поступать в тех случаях, когда число можно представить в экспоненциальной форме, но основания экспоненциальных выражений чисел сильно различаются. Например, 8×9 – это 2 3 х3 2 , и в этом случае мы не можем суммировать экспоненты. Ни 2 5 и ни 3 5 не являются ответом, ответ также не лежит в интервале между этими двумя числами.
Тогда стоит ли вообще возиться с этим методом? Безусловно стоит. Он дает огромные преимущества, особенно при сложных и трудоемких вычислениях.
До сих пор мы считали, что экспонента – это количество одинаковых сомножителей. В этом случае минимальная величина экспоненты – это 2. Однако если мы производим операцию деления чисел, или вычитания экспонент, то можем получить также число меньше 2, значит, старое определение нас больше не может устроить. Подробнее читайте в следующей статье.
Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней
Сложение и вычитание степеней
Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .
Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .
Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.
Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .
Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.
Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.
Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .
Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.
Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.
Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6
Умножение степеней
Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.
Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.
Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .
Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.
Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.
Так, a n .a m = a m+n .
Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;
И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;
Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.
Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1
Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .
1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть
Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.
Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.
Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .
Деление степеней
Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.
Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .
Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac $. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице
показателей делимых чисел.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .
Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac = y$.
И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac = a^n$.
Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Правило также справедливо и для чисел с отрицательными
значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.
2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.
3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .
4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .
5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.
6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).
7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .
8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.
Степень и ее свойства. Средний уровень.
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Степенью
называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой - натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой - отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой - бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
Что такое степень числа?
Возведение в степень – это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.
Начнем со сложения.
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно – 16 бутылок.
Теперь умножение.
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики — люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…
Вот таблица умножения. Повторяй.
И другой, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно –возведение числа в степень .
Возведение числа в степень.
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени – это. И решают такие задачки в уме – быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Пример из жизни №1.
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат – это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат – это изображение второй степени числа.
Пример из жизни №2.
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа. По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска – это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?
Пример из жизни №3.
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки – можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
Пример из жизни №4.
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты – умный! Итак, в первый год — два умножить на два… во второй год — то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени – миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
Пример из жизни №5.
У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год — умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Термины и понятия.
Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто – это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…
Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще – это то число, которое находится внизу, в основании.
Вот тебе рисунок для верности.
Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:
«Степень числа с натуральным показателем»
Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени – это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?
Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко – это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.
Всякие дроби — это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?
Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.
Степень с натуральным показателем
Определим понятие степени, показатель которой - натуральное число (т.е. целое и положительное).
- Любое число в первой степени равно самому себе:
- Возвести число в квадрат - значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб - значит умножить его само на себя три раза:
Определение. Возвести число в натуральную степень - значит умножить число само на себя раз:
Степень с отрицательным показателем. Деление степеней с одинаковым основанием. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке. То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным. Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).
После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами.
Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Основное свойство дроби позволяет записать равенство am−n·an=a(m−n)+n=am.
Переход к новому основанию
То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Для наглядности покажем это свойство на примере. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.
Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
Операции с корнями. Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать.
Вынесение показателя степени из логарифма
Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию.
Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.
Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Она так и называется: основное логарифмическое тождество. Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма.
Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями
Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице. 1 = 0 - это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 - это прямое следствие из определения. Вот и все свойства. Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее - и решайте задачи.
Логарифмическая единица и логарифмический ноль
2.a-4 есть a-2 первый числитель. В этом случае советуем поступать следующим образом. Это действие третьей ступени. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0n=0, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.
Аналогично, если q=0, то (ap)0=1 и ap·0=a0=1, откуда (ap)0=ap·0. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.
Начальный уровень
Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)
Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?
Чтобы узнать все о степенях, о том для чего они нужны, как использовать свои знания в повседневной жизни читай эту статью.
И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ОГЭ или ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ твоей мечты.
Let"s go... (Поехали!)
Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Возведение в степень - это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.
Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.
Начнем со сложения.
Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно - 16 бутылок.
Теперь умножение.
Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.
Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения
. Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…
Вот таблица умножения. Повторяй.
И другой, красивее:
А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно -возведение числа в степень .
Возведение числа в степень
Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени - это. И решают такие задачки в уме - быстрее, легче и без ошибок.
Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.
Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.
Пример из жизни №1
Начнем с квадрата или со второй степени числа.
Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.
Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().
Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат - это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат - это изображение второй степени числа.
Пример из жизни №2
Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска - это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?
Пример из жизни №3
Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.
Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?
А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .
Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки - можешь продолжать считать пальцем.
Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.
Пример из жизни №4
У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты - умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени - миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?
Пример из жизни №5
У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год - умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.
Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.
Термины и понятия... чтобы не запутаться
Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто - это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…
Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще - это то число, которое находится внизу, в основании.
Вот тебе рисунок для верности.
Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:
Степень числа с натуральным показателем
Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени - это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?
Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко - это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.
Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?
Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.
Резюме:
Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
- Любое число в первой степени равно самому себе:
- Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
- Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:
Определение.
Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.
Свойства степеней
Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.
Посмотрим: что такое и ?
По определению:
Сколько здесь множителей всего?
Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.
Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение:
Пример: Упростите выражение.
Решение:
Важно заметить, что в нашем правиле обязательно
должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
только для произведения степеней!
Ни в коем случае нельзя написать, что.
2. то и есть -ая степень числа
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?
Но это неверно, ведь.
Степень с отрицательным основанием
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.
Но каким должно быть основание?
В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.
Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Справился?
Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.
Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост!
6 примеров для тренировки
Разбор решения 6 примеров
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.
Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.
Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.
целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.
А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.
Любое число в нулевой степени равно единице :
Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?
Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:
Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.
Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:
Повторим правило:
Любое число в нулевой степени равно единице.
Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).
С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.
Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:
Отсюда уже несложно выразить искомое:
Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:
Итак, сформулируем правило:
Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).
Подведем итоги:
I. Выражение не определено в случае. Если, то.
II. Любое число в нулевой степени равно единице: .
III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .
Задачи для самостоятельного решения:
Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:
Разбор задач для самостоятельного решения:
Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!
Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.
Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?
Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.
Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:
Возведем обе части уравнения в степень:
Теперь вспомним правило про «степень в степени» :
Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?
Эта формулировка - определение корня -ой степени.
Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.
То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .
Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .
Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:
Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.
Никакое!
Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!
А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.
А что насчет выражения?
Но тут возникает проблема.
Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.
И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.
Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).
Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .
Итак, если:
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:
5 примеров для тренировки
Разбор 5 примеров для тренировки
Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .
Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением
Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.
Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;
...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;
...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.
Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))
Например:
Реши самостоятельно:
Разбор решений:
1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:
Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:
В данном случае,
Получается, что:
Ответ: .
2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:
Ответ: 16
3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ
Определение степени
Степенью называется выражение вида: , где:
- — основание степени;
- — показатель степени.
Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}
Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:
Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}
Если показателем степени является целое положительное число:
Возведение в нулевую степень :
Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.
Если показателем степени является целое отрицательное число:
(т.к. на делить нельзя).
Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.
Примеры:
Степень с рациональным показателем
- — натуральное число;
- — целое число;
Примеры:
Свойства степеней
Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.
Посмотрим: что такое и?
По определению:
Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:
Но по определению это степень числа с показателем, то есть:
Что и требовалось доказать.
Пример : Упростите выражение.
Решение : .
Пример : Упростите выражение.
Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:
Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !
Ни в коем случае нелья написать, что.
Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:
Перегруппируем это произведение так:
Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:
По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !
Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.
Степень с отрицательным основанием.
До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .
И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?
Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?
С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.
Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .
И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:
- четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен нулю.
Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Справился? Вот ответы:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.
В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).
Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.
И снова используем определение степени:
Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:
Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.
Вычисли значения выражений:
Решения :
Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!
Получаем:
Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.
Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:
Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!
Вернемся к примеру:
И снова формула:
Итак, теперь последнее правило:
Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:
Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:
Пример:
Степень с иррациональным показателем
В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).
При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.
Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.
Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.
Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)
Например:
Реши самостоятельно:
| 1) | 2) | 3) |
Ответы:
- Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
- Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
- Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Степенью называется выражение вида: , где:
Степень с целым показателем
степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).
Степень с рациональным показателем
степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.
Степень с иррациональным показателем
степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.
Свойства степеней
Особенности степеней.
- Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
- Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
- Положительное число в любой степени - число положительное.
- Ноль в любой степени равен.
- Любое число в нулевой степени равно.
ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...
Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.
Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.
Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.
Напиши в комментариях.
И удачи на экзаменах!
Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних веках возникла необходимость проводить многократное однотипное умножение. Вспоминается старая индийская загадка о мудреце, попросившем в награду за выполненную работу пшеничные зёрна в следующем количестве: за первую клетку шахматной доски он просил одно зерно, за вторую – два, третью – четыре, пятую – восемь и так далее. Так появилось первое умножение степеней, ведь количество зёрен было равно двойке в степени номера клетки. К примеру, на последней клетке было бы 2*2*2*…*2 = 2^63 зёрен, что равно числу длиной в 18 знаков, в чём, собственно, и кроется смысл загадки.
Операция возведения в степень прижилась довольно быстро, также быстро возникла необходимость проводить сложение, вычитание, деление и умножение степеней. Последнее и стоит рассмотреть более подробно. Формулы для сложения степеней просты и легко запоминаются. К тому же, очень легко понять, откуда они берутся, если операцию степени заменить умножением. Но сначала следует разобраться в элементарной терминологии. Выражение a^b (читается «а в степени b») означает, что число a следует умножить само на себя b раз, причём «a» называется основанием степени, а «b» - степенным показателем. Если основания степеней одинаковые, то формулы выводятся совсем просто. Конкретный пример: найти значение выражения 2^3 * 2^4. Чтобы знать, что должно получиться, следует перед началом решения узнать ответ на компьютере. Забив данное выражение в любой онлайн-калькулятор, поисковик, набрав "умножение степеней с разными основаниямии одинаковыми" или математический пакет, на выходе получится 128. Теперь распишем данное выражение: 2^3 = 2*2*2, а 2^4 = 2*2*2*2. Получается, что 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Выходит, что произведение степеней с одинаковым основанием равно основанию, возведённому в степень, равную сумме двух предыдущих степеней.
Можно подумать, что это случайность, но нет: любой другой пример сможет лишь подтвердить данное правило. Таким образом, в общем виде формула выглядит следующим образом: a^n * a^m = a^(n+m) . Также существует правило, что любое число в нулевой степени равно единице. Здесь следует вспомнить правило отрицательных степеней: a^(-n) = 1 / a^n. То есть, если 2^3 = 8, то 2^(-3) = 1/8. Используя это правило можно доказать справедливость равенства a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^(n) можно сократить и остаётся единица. Отсюда выводится и то правило, что частное степеней с одинаковыми основаниями равно этому основанию в степени, равной частному показателя делимого и делителя: a^n: a^m = a^(n-m) . Пример: упростить выражение 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Умножение является коммутативной операцией, следовательно сначала следует произвести сложение показателей умножения: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Далее следует разобраться с делением на отрицательную степень. Необходимо вычесть показатель делителя из показателя делимого: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Оказывается, операция деления на отрицательную степень тождественна операции умножения на аналогичный положительный показатель. Таким образом, окончательный ответ равен 8.
Существуют примеры, где имеет место не каноническое умножение степеней. Перемножить степени с разными основаниями очень часто бывает гораздо сложнее, а порой и вообще невозможно. Следует привести несколько примеров различных возможных приёмов. Пример: упростить выражение 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Очевидно, имеет место умножение степеней с разными основаниями. Но, следует отметить, что все основания являются различными степенями тройки. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Используя правило (a^n) ^m = a^(n*m) , следует переписать выражение в более удобном виде: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7-4+12-10+6) = 3^(11) . Ответ: 3^11. В случаях, когда различные основания, на равные показатели работает правило a^n * b^n = (a*b) ^n. Например, 3^3 * 7^3 = 21^3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.
Деление степеней с одинаковым основанием. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями.
3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.
Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать. После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени.
Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке.
Свойства степеней с натуральными показателями
Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Для наглядности покажем это свойство на примере. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.
Сложение и вычитание одночленов
Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.
Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0Осталось доказать вторую часть свойства. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно.
При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.
Основные свойства логарифмов
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Операции с корнями.
Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.
Умножение степеней чисел с одинаковыми показателями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Для решения данной задачи вспомните, что: 49 = 7^2, а 147 = 7^2 * 3^1. Если Вы теперь аккуратно воспользуетесь свойствами степеней (при возведении степени в степень показатели…
То есть показатели степени действительно вычитаются, но, поскольку в знаменателе у степени показатель отрицательный, при вычитании минус на минус даёт плюс, и показатели складываются. Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.
Переход к новому основанию
То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены. Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.
Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В предыдущем видео говорилось,что в примерах с одночленами может быть только умножение:»Найдем отличие этих выражений от предыдущих.
Само понятие одночлена как математической единицы подразумевает только умножение чисел и переменных, если есть другие операции, выражение уже не будет одночленом. Но вместе с тем между собой одночлены можно складывать, вычитать, делить… Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.
Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.
То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.