Организация: МБОУ Бестужевская СОШ

Населенный пункт: с. Бестужево, Устьянский р-н, Архангельская область

Дидактический материал по теме:

«Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты»

«Дидактический материал - особый тип наглядного учебного пособия (преимущественно карты, таблицы, наборы карточек с текстом, цифрами или рисунками и т.д.), раздаваемые учащимся для самостоятельной работы в классе или дома. Дидактическим материалом называются также сборники задач и упражнений» .

• Данный дидактический материал разработан по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». рассчитан на учащихся 5 класса общеобразовательных школ и предназначен для формирования и развития вычислительной культуры учащихся по данной теме.

Цель данного дидактического материала – овладение учащимися вычислительных навыков действий с десятичными дробями и процентами; развитие познавательной активности и повышение учебной мотивации у пятиклассников; формирование у учащихся культуры учебной деятельности и повышение интереса к математике.

Задачи :

1) Сформировать и развить вычислительные навыки действий с десятичными дробями и процентами у пятиклассников при решении заданий данного дидактического материала;

2) Повысить учебную мотивацию и интерес к изучению математики у учащихся через решение нестандартных заданий дидактического материала;

3) Развивать познавательную активность и культуру учебной деятельности учащихся при различных формах работы с данным дидактическим материалом.

Данный дидактический материал представлен в виде карточек с различными нестандартными заданиями. Первый вид заданий – числовые кроссворды. В этих кроссвордах ответом может быть целое число или конечная десятичная дробь. Такие кроссворды – альтернатива примерам из учебных пособий. При разгадывании кроссвордов, нужно выполнить действие с десятичными дробями, записать ответ в кроссворд, при этом надо учитывать, что каждый знак записывается в отдельную клетку. В конце каждой карточки с кроссвордом дана инструкция по заполнению ответов. Решая такие числовые кроссворды, учащиеся могут контролировать правильность своих решений (при индивидуальной работе с кроссвордом) или контролировать друг друга (при работе в парах или малых группах). Кроссворды в дидактическом материале представлены по следующим темам: «Запись десятичных дробей», «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Деление числа на десятичную дробь».

В дидактическом материале также содержатся задания, ответом на которые может быть слово, фраза, поговорка или имя ученого. В таких заданиях учащийся решает пример, получает ответ, которому соответствует определенная буква. Решив все примеры в задании можно получить термин, значение которого дается ниже; пословицу или имя ученого, внесшего вклад в развитие математики. Решая такие задания, учащиеся узнают интересные факты из истории математики, о различных древних приспособлениях счета, об истории появления процентов. В процессе решении заданий учащиеся могут сами контролировать правильность своего решения или контроль осуществляет учитель. В конце карточки с заданиями дана инструкция по заполнению ответов. Эти задания носят познавательный характер и направлены на расширение кругозора учащихся. В дидактическом материале содержатся задания по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение десятичных дробей на натуральное число», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Умножение десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей», «Все действия с десятичными дробями», «Среднее арифметическое», «Нахождение числа по его процентам».

В данном дидактическом материале содержится задания, в которых нужно вставить пропущенные числа. Это цепочка вычислений, в которой дано одно число: первое, последнее или число посередине цепочки и нужно расставить остальные числа, выполняя действия в одну или другую сторону. Цепочки вычислений представлены в разных уровнях сложности. Также сюда относятся задания, в которых нужно вставить пропущенные числа по кругу, выполняя различные действия с числом в центре. Такие задания требуют контроля и проверки учителем и рассчитаны для устного счета или небольшой проверочной работы. Эти задания представлены по темам: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей на натуральное число», «Действия с десятичными дробями», «Проценты».

Следующий вид заданий, которые содержатся в дидактическом материале – задания на определение истинности или ложности высказывания, которые тоже рассчитаны для устного решения или математического диктанта. В таких заданиях дано высказывание или решен пример и нужно определить верно это или неверно, в кружок рядом с высказыванием поставить «И» или «Л». При решении таких заданий учащимися должен быть контроль со стороны учителя. Задания представлены по следующим темам: «Чтение и запись десятичных дробей», «Умножение числа на 0,1; 0,01; 0,001; …….».

Последний вид заданий данного дидактического материала - это задания на нахождение ошибки в примерах или в решении уравнений. В таких заданиях нужно найти и исправить предложенные ошибки, к каждой карточке с заданием для самоконтроля указано количество допущенных ошибок. Проверка выполнения задания осуществляется учителем. Задания представлены по темам: «Деление десятичных дробей на натуральное число», «Деление числа на 0,1; 0,01; 0,001; …..».

При использовании нестандартных заданий данного дидактического материала у учащихся формируется вычислительная культура, развиваются и отрабатываются вычислительные навыки по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». Задания дидактического материала позволяют привить учащимся интерес к математике, повысить их познавательную активность и мотивацию к учению. С помощью дидактического материала у пятиклассников формируются умения самостоятельно осмысливать и усваивать материал по данной теме, развивается смекалка. Данный дидактический материал можно использоваться на уроках для индивидуальной работы учащихся, работы в парах или малых группах. Для индивидуальной работы задания выдаются более сильным учащимся, более слабые работают в парах или группах по 3-4 человека. Оцениваются эти задания разными способами: самооценка учащимися, взаимооценка при работе в паре или группе, оценка работы учителем. Задания дидактического материала можно использовать для домашней работы и самоподготовки учащихся. Дидактический материал можно применять на разных этапах урока. На этапе актуализации знаний применяются цепочки вычислений и задания на определении истинности и ложности высказываний, так же эти задания можно использовать при проведении математических диктантов. Числовые кроссворды и задания на получение слова, фразы или имени ученого можно использовать на этапах закрепления и применения знаний. Данный дидактический материал можно использовать для контроля и проверки знаний учащихся по теме: «Десятичные дроби. Действия с десятичными дробями. Проценты». При решении такого рода заданий у учащихся развивается культура учебной деятельности: если это индивидуальная работа, то ученик самостоятельно определяет шаги по решению и может себя проконтролировать и оценить, может проявить смекалку; если это работа в паре или в малой группе, то ученики распределяют задания между собой, контролируют друг друга, проводят взаимооценку. Дидактический материал направлен на самоконтроль со стороны учащихся, взаимоконтроль и тренировку в процессе усвоения учебного материала. При работе с дидактическим материалом учащийся решает конкретную дидактическую задачу, используя свои знания и навыки, при этом развивает свою интеллектуальную, мотивационную, волевую и эмоциональную сферы. Из опыта использования данного дидактического материала могу сказать, что ученики на «ура» принимают эти задания, особенно любят отгадывать числовые кроссворды.

При использовании данного дидактического материала в процессе обучения у учащихся формируются все группы УУД (универсальные учебные действия). УУД – совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной работы), обеспечивающих его способность к самостоятельному усвоению новых знаний и умений, включая организацию этого процесса . Формируются и развиваются:

Личностные УУД – использование полученных знаний, мотивация к учению, оценивание собственной учебной деятельности.

Регулятивные УУД - организация и планирование своей учебной деятельности, самостоятельный анализ условия достижения цели, прогнозирование и предвосхищение результата, контроль и коррекция своей деятельности.

Познавательные УУД - структурирование знаний, выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, владение анализом и синтезом, поиск и выделение необходимой информации.

Коммуникативные УУД - умение формулировать мысли, планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, управление поведением партнера - контроль, коррекция, оценка действий партнера, умение отстаивать свою точку зрения.

Данный дидактический материал разработан с опорой на учебники математики для 5 класса: «Математика 5» авторского коллектива Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И., а также «Математика 5» коллектива авторов Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Задания дидактического материала могут быть использованы учителями в процессе преподавания математики в 5 классах по учебникам других авторов. Также дидактический материал будет служить хорошим помощником при самоподготовке учащихся. В конце дидактического материала предложены ответы к заданиям.

Список литературы:

1. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. Математика 5класс, 6 класс, учебник Москва Мнемозина, 2013 год.

2. Глейзер Г. И. История математики в школе. М.: Просвещение, 1981 год.

3. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С. Математика 5, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2013 год.

4. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.. Дидактические материалы. Математика 5 класс, 6 класс. Москва Вентана-Граф, 2015 год.

5. Рапацевич Е. С. Новейший психолого-педагогический словарь. Современная школа, 2010 год.

6. Фундаментальное ядро содержания общего образования под редакцией Козлова В. В., Кондакова А. М. М.: Просвещение 2011 год.

7. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5класс, 6 класс. Москва Классик Стиль, 2010.

8. Википедия. Свободная энциклопедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/

Состоит из трех частей, каждая из которых содержит 48 карточек с примерами на совместное выполнение сложения и вычитания, умножения и деления, а также всех четырех арифметических действий с десятичными дробями. Все карточки однотипны и включают в себя примеры различной трудности с учетом особенностей, характерных для отдельных действий. Каждой карточка состоит из восьми примеров, содержащих от четырех до шести действий, причем примеры с одинаковыми номерами аналогичны друг другу. Так первые два примера всех карточек пятой и шестой частей не содержат скобок, в третьих и четвертых примерах обязательно присутствует одна пара скобок, в пятых и шестых - две пары скобок, в седьмых - три пары, а восьмые примеры содержат скобки в скобках. Аналогичным образом подобны друг другу и примеры седьмой части. Для качественной проработки всех арифметических действий карточки были составлены таким образом, что: - в каждом примере на сложение и вычитание (часть 5) обязательно есть целое слагаемое, а один из промежуточных ответов является целым числом; - в каждом примере на умножение и деление (часть 6) обязательно присутствует множитель, являющийся целой (положительной или отрицательной) степенью десятки, причем в каждом варианте встречаются все четыре случая (уножение и деление на положительную и на отрицательную степень десятки). Кроме того, в КАЖДОМ НЕЧЕТНОМ ПРИМЕРЕ КАЖДОГО ВАРИАНТА содержится по крайней мере одно действие деления, частное которого имеет НУЛЕВОЙ СРЕДНИЙ РАЗРЯД. В других примерах таких частных нет; - в каждом примере седьмой части присутствуют все четыре арифметических действия и по возможности реализованы особенности примеров из пятой и шестой частей. Для этого в каждом примере одно из действий сложения или вычитания производится с целым числом или дает целый результат. Все примеры этой части, в которых при делении получается ЧАСТНОЕ СО СРЕДНИМ НУЛЕВЫМ РАЗРЯДОМ, отмечены в ответах знаком (!) после своего номера, причем ТАКИЕ ЧАСТНЫЕ ОБЯЗАТЕЛЬНЫ ВО ВТОРОМ И ЧЕТВЕРТОМ ПРИМЕРАХ КАЖДОГО ВАРИАНТА. Кроме того, в каждом варианте встречаются и уножение и деление как на положительную, так и на отрицательную степень десятки. ВСЕ ЗАДАНИЯ ВСЕХ ВАРИАНТОВ СНАБЖЕНЫ ОТВЕТАМИ ПО КАЖДОМУ ДЕЙСТВИЮ, причем КОНЕЧНЫЙ ОТВЕТ КАЖДОГО ПРИМЕРА определенным образом СВЯЗАН С ЕГО ПОРЯДКОВЫМ НОМЕРОМ И НОМЕРОМ ВАРИАНТА, то есть вторым числом после номера части. А именно: - конечный ответ любого примера пятой части представляет собой число, целая часть которого является номером варианта, а дробная часть - порядковым номером примера. Так ответом четвертого примера варианта 5.20 (то есть двадцатого варианта пятой части) является число 20,4; - конечный ответ любого примера шестой части представляет собой число, целая часть которого также является номером варианта, а дробная часть состоит из двух цифр - нуля и номера примера. Так седьмой пример варианта 6.12 имеет конечный ответ 12,07; - конечный ответ любого примера седьмой части является числом, целая часть которого равна сумме номера варианта и номера примера, а дробная часть образована так же, как и в шестой части. Таким образом, третий пример варианта 7.28 имеет конечный ответ 31,03. Большое количество различных вариантов по каждой теме позволяет учителю легко организовать в классе индивидуальную работу всех учащихся. Данные карточки могут многократно применяться на уроках при отработке вычислительных навыков у учащихся, на самостоятельных и контрольных работах, на дополнительных занятиях, в качестве домашнего задания и т.п. Кроме того, данный дидактический материал может использоваться при изучении правил раскрытия скобок и изменения порядка действий для облегчения вычислений. Конечно, данные карточки будут полезны и при обучении учащихся работе на микрокалькуляторах. Формирование и решение всех заданий выполнено на компьютере по оригинальным программам.

В математике различные типы чисел изучаются с самого своего зарождения. Существует большое количество множеств и подмножеств чисел. Среди них выделяют целые числа, рациональные, иррациональные, натуральные, четные, нечетные, комплексные и дробные. Сегодня разберем информацию о последнем множестве - дробных числах.

Определение дробей

Дроби - это числа, состоящие из целой части и долей единицы. Также, как и целых чисел, существует бесконечное множество дробных, между двумя целыми. В математике действия с дробями выполняются, так как с целыми и натуральными числами. Это довольно просто и научиться этому можно за пару занятий.

В статье представлено два вида

Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби представляют собой целую часть a и два числа записанных через дробную черту b/c. Обыкновенные дроби могут быть крайне удобны, если дробную часть нельзя представить в рациональном десятичном виде. Кроме того, арифметические операции удобнее производить через дробную черту. Верхняя часть называется числитель, нижняя - знаменатель.

Действия с обыкновенными дробями: примеры

Основное свойство дроби. При умножении числителя и знаменателя на одно и то же число, не являющееся нулем, в результате получается число равное данному. Это свойство дроби отлично помогает привести знаменатель для сложения (об этом будет рассказано ниже) или сократить дробь, сделать ее удобнее для счета. a/b = a*c/b*c. К примеру, 36/24 = 6/4 или 9/13 = 18/26

Приведение к общему знаменателю. Чтобы привести знаменатель дроби необходимо представить знаменатель в виде множителей, а затем помножить на недостающие числа. Например, 7/15 и 12/30; 7/5*3 и 12/5*3*2. Видим, что знаменатели отличаются двойкой, поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 2. Получаем: 14/30 и 12/30.

Составные дроби - обыкновенные дроби с выделенной целой частью. (A b/c) Чтобы представить составную дробь в виде обыкновенной, необходимо умножить число, стоящее перед дробью на знаменатель, а затем сложить с числителем: (A*c + b)/c.

Арифметические действия с дробями

Не лишним будет рассмотреть известные арифметические действия только при работе с дробными числами.

Сложение и вычитание. Складывать и вычитать обыкновенные дроби точно так же легко, как и целые числа, за исключением одной трудности - наличия дробной черты. Складывая дроби с одинаковым знаменателем, необходимо сложить лишь числители обеих дробей, знаменатели остаются без изменения. Например: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Если же знаменатели двух дробей представляют собой разные числа сначала нужно привести их к общему (как это сделать было рассмотрено выше). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Вычитание происходит по точно такому же принципу: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Умножение и деление. Действия с дробями по умножению происходят по следующему принципу: отдельно перемножаются числители и знаменатели. В общем виде формула умножения выглядит так: a/b *c/d = a*c/b*d. Кроме того, по мере умножения можно сократить дробь, исключая одинаковые множители из числителя и знаменателя. Выражаясь другим языком, числитель и знаменатель делится на одно и то же число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Для деления одной обыкновенной дроби на другую, нужно поменять числитель и знаменатель делителя и выполнить умножение двух дробей, по принципу, рассмотренному ранее: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

Десятичные дроби

Десятичные дроби являются более популярной и часто используемой версией дробных чисел. Их проще записать в строчку или представить на компьютере. Структура десятичной дроби такая: сначала записывается целое число, а затем, после запятой, записывается дробная часть. По своей сути десятичные дроби - это составные обыкновенные дроби, однако их дробная часть представлена числом, деленным на кратное цифре 10. Отсюда и произошло их название. Действия с дробями десятичными аналогичны действиям с целыми числами, так как они так же записаны в десятичной системе счисления. Также в отличие от обыкновенных дробей, десятичные могут быть иррациональными. Это значит, что они могут быть бесконечны. Записываются они так 7,(3). Читается такая запись: семь целых, три десятых в периоде.

Основные действия с десятичными числами

Сложение и вычитание десятичных дробей. Выполнить действия с дробями не сложнее, чем с целыми натуральными числами. Правила абсолютно аналогичны с теми, что используют при сложении или вычитании натуральных чисел. Их точно так же можно считать столбиком, однако при необходимости заменять недостающие места нулями. Например: 5,5697 - 1,12. Для того чтобы выполнить вычитание столбиком нужно уравнять количество чисел после запятой: (5,5697 - 1,1200). Так, числовое значение не измениться и можно будет считать в столбик.

Действия с десятичными дробями нельзя производить, если одно из них имеет иррациональный вид. Для этого нужно перевести оба числа в обыкновенные дроби, а затем пользоваться приемами, описанными ранее.

Умножение и деление. Умножение десятичных дробей аналогично умножению натуральных. Их также можно умножать столбиком, просто, не обращая внимания на запятую, а затем отделить запятой в итоговом значении такое же количество знаков, сколько в сумме после запятой было в двух десятичных дробях. К примеру, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все очень просто, и не должно вызвать затруднений, если вы уже овладели умножением натуральных чисел.

Деление также совпадает с делением натуральных чисел, но с небольшим отступлением. Чтобы разделить на десятичное число столбиком необходимо отбросить запятую в делителе, и умножить делимое на число знаков, стоявших после запятой в делителе. После чего выполнять деление как с натуральными числами. При неполном делении можно добавлять нули к делимому справа, также прибавляя ноль в ответ после запятой.

Примеры действий с десятичными дробями. Десятичные дроби - очень удобный инструмент для арифметического счета. Они сочетают в себе удобство натуральных, целых чисел и точность обыкновенных дробей. К тому же довольно просто перевести одни дроби в другие. Действия с дробями не отличаются от действий с натуральными числами.

1. Сложение: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Вычитание: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Умножение: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Деление: 3,6: 0,6 = 6

Кроме того, десятичные дроби подходят для представления процентов. Так, 100 % = 1; 60 % = 0,6; и наоборот: 0,659 = 65,9 %.

Вот и все, что нужно знать о дробях. В статье было рассмотрено два вида дробей - обыкновенные и десятичные. Оба довольно простые в вычислении, и если вы полностью овладели натуральными числами и действиями с ними, можете смело приступать к изучению дробных.

Из множества дробей, встречающихся в арифметике, отдельного внимания заслуживают такие, у которых в знаменателе стоит 10, 100, 1000 - в общем, любая степень десятки. У этих дробей есть специальное название и форма записи.

Десятичная дробь - это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Примеры десятичных дробей:

Зачем вообще потребовалось выделять такие дроби? Почему для них нужна собственная форма записи? На то есть как минимум три причины:

1. Десятичные дроби намного удобнее сравнивать. Вспомните: для сравнения обычных дробей их требуется вычесть друг из друга и, в частности, привести дроби к общему знаменателю. В десятичных дробях ничего подобного не требуется;
2. Сокращение вычислений. Десятичные дроби складываются и умножаются по собственным правилам, и после небольшой тренировки вы будете работать с ними намного быстрее, чем с обычными;
3. Удобство записи. В отличие от обычных дробей, десятичные записываются в одну строчку без потери наглядности.

Большинство калькуляторов также дают ответы именно в десятичных дробях. В некоторых случаях другой формат записи может привести к проблемам. Например, что, если потребовать в магазине сдачу в размере 2/3 рубля:)

Правила записи десятичных дробей

Основное преимущество десятичных дробей - удобная и наглядная запись. А именно:

Десятичная запись - это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

Например, 0,3 (читается: «ноль целых, 3 десятых»); 7,25 (7 целых, 25 сотых); 3,049 (3 целых, 49 тысячных). Все примеры взяты из предыдущего определения.

На письме в качестве десятичной точки обычно используется запятая. Здесь и далее на всем сайте тоже будет использоваться именно запятая.

Чтобы записать произвольную десятичную дробь в указанной форме, надо выполнить три простых шага:

1. Выписать отдельно числитель;
2. Сдвинуть десятичную точку влево на столько знаков, сколько нулей содержит знаменатель. Считать, что изначально десятичная точка стоит справа от всех цифр;
3. Если десятичная точка сдвинулась, а после нее в конце записи остались нули, их надо зачеркнуть.

Бывает, что на втором шаге у числителя не хватает цифр для завершения сдвига. В этом случае недостающие позиции заполняются нулями. Да и вообще, слева от любого числа можно без ущерба для здоровья приписывать любое количество нулей. Это некрасиво, но иногда полезно.

На первый взгляд, данный алгоритм может показаться довольно сложным. На самом деле все очень и очень просто - надо лишь немного потренироваться. Взгляните на примеры:

Задача. Для каждой дроби укажите ее десятичную запись:

Числитель первой дроби: 73. Сдвигаем десятичную точку на один знак (т.к. в знаменателе стоит 10) - получаем 7,3.

Числитель второй дроби: 9. Сдвигаем десятичную точку на два знака (т.к. в знаменателе стоит 100) - получаем 0,09. Пришлось дописать один ноль после десятичной точки и еще один - перед ней, чтобы не оставлять странную запись вида «,09».

Числитель третьей дроби: 10029. Сдвигаем десятичную точку на три знака (т.к. в знаменателе стоит 1000) - получим 10,029.

Числитель последней дроби: 10500. Снова сдвигаем точку на три знака - получим 10,500. В конце числа образовались лишние нули. Зачеркиваем их - получаем 10,5.

Обратите внимание на два последних примера: числа 10,029 и 10,5. Согласно правилам, нули справа надо зачеркнуть, как это сделано в последнем примере. Однако ни в коем случае нельзя поступать так с нулями, стоящими внутри числа (которые окружены другими цифрами). Именно поэтому мы получили 10,029 и 10,5, а не 1,29 и 1,5.

Итак, с определением и формой записи десятичных дробей разобрались. Теперь выясним, как переводить обычные дроби в десятичные - и наоборот.

Переход от обычных дробей к десятичным

Рассмотрим простую числовую дробь вида a /b . Можно воспользоваться основным свойством дроби и умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы внизу получилась степень десятки. Но прежде, чем это делать, прочитайте следующее:

Существуют знаменатели, которые не приводятся к степени десятки. Учитесь распознавать такие дроби, потому что с ними нельзя работать по алгоритму, описанному ниже.

Вот такие дела. Ну и как понять, приводится знаменатель к степени десятки или нет?

Ответ прост: разложите знаменатель на простые множители. Если в разложении присутствуют только множители 2 и 5, это число можно привести к степени десятки. Если найдутся другие числа (3, 7, 11 - что угодно), о степени десятки можно забыть.

Задача. Проверить, можно ли представить указанные дроби в виде десятичных:

Выпишем и разложим на множители знаменатели этих дробей:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутствуют только числа 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде десятичной.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - есть «запретный» множитель 3. Дробь не представима в виде десятичной.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядке: кроме чисел 2 и 5 ничего нет. Дробь представима в виде десятичной.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Снова «всплыл» множитель 3. Представить в виде десятичной дроби нельзя.

Итак, со знаменателем разобрались - теперь рассмотрим весь алгоритм перехода к десятичным дробям:

1. Разложить знаменатель исходной дроби на множители и убедиться, что она вообще представима в виде десятичной. Т.е. проверить, чтобы в разложении присутствовали только множители 2 и 5. Иначе алгоритм не работает;
2. Сосчитать, сколько двоек и пятерок присутствует в разложении (других чисел там уже не будет, помните?). Подобрать такой дополнительный множитель, чтобы количество двоек и пятерок сравнялось.
3. Собственно, умножить числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель - получим искомое представление, т.е. в знаменателе будет стоять степень десятки.

Разумеется, дополнительный множитель тоже будет разлагаться только на двойки и пятерки. При этом, чтобы не усложнять себе жизнь, следует выбирать наименьший такой множитель из всех возможных.

И еще: если в исходной дроби присутствует целая часть, обязательно переведите эту дробь в неправильную - и только затем применяйте описанный алгоритм.

Задача. Перевести данные числовые дроби в десятичные:

Разложим на множители знаменатель первой дроби: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Следовательно, дробь представима в виде десятичной. В разложении присутствуют две двойки и ни одной пятерки, поэтому дополнительный множитель равен 5 2 = 25. С ним количество двоек и пятерок сравняется. Имеем:

Теперь разберемся со второй дробью. Для этого заметим, что 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - в разложении присутствует тройка, поэтому дробь не представима в виде десятичной.

Две последних дроби имеют знаменатели 5 (простое число) и 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 соответственно - везде присутствуют только двойки и пятерки. При этом в первом случае «для полного счастья» не хватает множителя 2, а во втором - 5. Получаем:

Переход от десятичных дробей к обычным

Обратное преобразование - от десятичной формы записи к обычной - выполняется намного проще. Здесь нет ограничений и специальных проверок, поэтому перевести десятичную дробь в классическую «двухэтажную» можно всегда.

Алгоритм перевода следующий:

1. Зачеркните все нули, стоящие в десятичной дроби слева, а также десятичную точку. Это будет числитель искомой дроби. Главное - не переусердствуйте и не зачеркните внутренние нули, окруженные другими цифрами;
2. Подсчитайте, сколько знаков стоит в исходной десятичной дроби после запятой. Возьмите цифру 1 и припишите справа столько нулей, сколько знаков вы насчитали. Это будет знаменатель;
3. Собственно, запишите дробь, числитель и знаменатель которой мы только что нашли. По возможности, сократите. Если в исходной дроби присутствовала целая часть, сейчас мы получим неправильную дробь, что очень удобно для дальнейших вычислений.

Задача. Перевести десятичные дроби в обычные: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Зачеркнем нули слева и запятые - получим следующие числа (это будут числители): 8; 3107; 225; 72008.

В первой и во второй дробях после запятой стоит по 3 знака, во второй - 2, а в третьей - целых 4 знака. Получим знаменатели: 1000; 1000; 100; 10000.

Наконец, объединим числители и знаменатели в обычные дроби:

Как видно из примеров, полученную дробь очень часто можно сократить. Еще раз отмечу, что любая десятичная дробь представима в виде обычной. Обратное преобразование можно выполнить не всегда.

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.