История отрицательных чисел

Известно, что натуральные числа возникли при счете предметов. Потребность человека измерять величины и то обстоятельство, что результат измерения не всегда выражается целым числом, привели к расширению множества натуральных чисел. Были введены нуль и дробные числа.

Процесс исторического развития понятия числа на этом не закончился. Однако не всегда первым толчком к расширению понятия числа были исключительно практические потребности людей. Было и так, что задачи самой математики требовали расширения понятия числа. Именно так обстояло дело с возникновением отрицательных чисел. Решение многих задач, особенно решаемых с помощью уравнений, приводило к вычитанию из меньшего числа большего. Это потребовало введения новых чисел.

Впервые отрицательные числа появились в Древнем Китае уже примерно 2100 лет тому назад. Там умели также складывать и вычитать положительные и отрицательные числа, правила умножения и деления не применялись.

Во II в. до н. э. китайский ученый Чжан Цань написал книгу «Арифметика в девяти главах». Из содержания книги видно, что это не вполне самостоятельный труд, а переработка других книг, написанных задолго до Чжан Цаня. В этой книге впервые в науке встречаются отрицательные количества. Они понимаются им не так, как понимаем и применяем их мы. Полного и ясного понимания природы отрицательных величин и правил действия с ними у него нет. Каждое отрицательное число он понимал как долг, а положительное – как имущество. Действия с отрицательными числами он производил не так, как мы, а используя рассуждения о долге. Например, если к одному долгу прибавить другой долг, то в результате получиться долг, а не имущество (т, е. по нашему (- х) + (- х) = - 2х. Знака минус тогда не знали, поэтому, чтобы отличить числа, выражавшие долг, Чжань Цань писал их другими чернилами, чем числа, выражавшие имущество (положительные).

Положительные количества в китайской математике называли «чен» и изображали красным цветом, а отрицательные – «фу» и изображали черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Хотя китайские ученые и объяснили отрицательные количества как долг, а положительные - как имущество, всё же они избегали широкого употребления их, так как числа эти казались непонятными, действия с ними были неясны. Если же задача приводила к отрицательному решению, то старались заменить условие (как греки), чтобы в итоге получалось решение положительное.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. Для вычислений математики того времени пользовались счетной доской, на которой числа изображались с помощью счетных палочек. Так как знаков + и – в то время еще не было, палочками красного цвета изображали положительные числа, отрицательные же - палочками черного цвета и называли «долг» и «недостача». Положительные числа толковались как «имущество». В отличие от Китая в Индии были уже известны и правила умножения, деления. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Уже в произведении выдающегося индийского математика и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Отрицательными числами индийские математики пользовались при решении уравнений, причем вычитание заменяли добавлением с равнопротивоположным числом.

Вместе с отрицательными числами индийские математики ввели понятие ноль, что позволило им создать десятеричную систему исчисления. Но долгое время ноль не признавали числом, «nullus» по - латыни – никакой, отсутствие числа. И лишь через X веков, в XVII-ом столетии с введением системы координат ноль становится числом.

Греки тоже поначалу знаков не использовали. Древнегреческий ученый Диофант вообще не признавал отрицательные числа, и если при решении уравнения получался отрицательные корень, то он отбрасывал его как “недоступный”. И Диофант старался так сформулировать задачи и составлять уравнения, чтобы избежать отрицательных корней, но вскоре Диофант Александрийский стал обозначать вычитание знаком .

Несмотря на то, что отрицательные числа использовались давно, относились к ним с некоторым недоверием, считая их не совсем реальными, истолкование их как имущество-долг вызывало недоумение: как можно «складывать» и «вычитать» имущество и долги?

В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг».

В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.

Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными ». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…

Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия.

В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом!

Современное обозначение положительных и отрицательных чисел со знаками

« + » и « - » применил немецкий математик Видман.

Немецкий математик Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» (1544) впервые вводит понятие об отрицательных числах как о числах, меньших нуля (меньших, чем ничто). Это был очень большой шаг вперёд в деле обоснования отрицательных чисел. Он дал возможность рассматривать отрицательные числа не как долг, а совсем по-иному, по-новому. Но Штифель называл отрицательные числа абсурдными; действия с ними, по его словам, «тоже идут абсурдно , навыворот».

После Штифеля ученые стали более уверенно производить действия с отрицательными числами.

Все чаще сохранялись и истолковывались отрицательные решения в задачах.

В XVII в. великий французский математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на числовой оси влево от нуля. Нам сейчас кажется это все таким простым и понятным, но, чтобы дойти до этой мысли, потребовалось восемнадцать веков работы ученой мысли от китайского ученого Чжан Цаня до Декарта.

В трудах Декарта отрицательные числа получили, как говорят, реальное истолкование. Декарт и его последователи признавали их наравне с положительными. Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них), поэтому многие ученые не желали признавать отрицательные числа за числа действительные. Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том признать отрицательные числа числами действительными или нет. Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет. За этот период математика как наука получила очень большое развитие, и на каждом шагу в ней встречались отрицательные числа. Математика стала немыслимой, невозможной без отрицательных чисел. Все большему числу ученых становилось ясно, что отрицательные числа – это числа действительные, такие же реальные, на самом деле существующие числа, как числа положительные.

С трудом завоевали себе место в математике отрицательные числа. Как ни старались ученые избегать их. Все же удавалось это им не всегда. Жизнь ставила перед наукой новые и новые задачи, и все чаще и чаще задачи эти приводили к отрицательным решениям и в Китае, и в Индии, и в Европе. Только в начале XIX в. теория отрицательных чисел закончила свое развитие, и «абсурдные числа» получили всеобщее признание.

Всякий физик постоянно имеет дело с числами: он всегда что-то измеряет, вычисляет, рассчитывает. Везде в его бумагах – числа, числа и числа. Если приглядеться к записям физика, то обнаружится, что при записи чисел он часто использует знаки «+» и «-».

Как же возникают положительные, а тем более отрицательные числа в физике?

Физик имеет дело с различными физическими величинами, описывающими разнообразные свойства окружающих нас предметов и явлений. Высота здания, расстояние от школы до дома, масса и температура человеческого тела, скорость автомобиля, объем банки, сила электрического тока, показатель преломления воды, мощность ядерного взрыва, напряжение между электродами, продолжительность урока или перемены, электрический заряд металлического шарика – все это примеры физических величин. Физическую величину можно измерить.

Не следует думать, что любая характеристика предмета или явление природы может быть измерена и, следовательно, является физической величиной. Это совсем не так. Например, мы говорим: «Какие красивые горы вокруг! И какое красивое озеро там, в низу! А какая красивая ель вон на той скале! Но мы не можем измерить красоту гор, озера, или этой одинокой ели!» Значит такая характеристика, как красота, не является физической величиной.

Измерения физических величин проводятся при помощи измерительных приборов, таких как линейка, часы, весы и т. д.

Итак, числа в физике возникают в результате измерения физических величин, а численное значение физической величины, получаемое в результате измерения, зависит: от того, как определена эта физическая величина; от используемых единиц измерения .

Посмотрим на шкалу обычного уличного термометра.

Она имеет вид, изображенный на шкале 1. На ней нанесены только положительные числа, и поэтому при указании численного значения температуры приходится дополнительно пояснять 20 градусов тепла (выше нуля). Это для физиков неудобно – ведь слова в формулу не подставишь! Поэтому в физике применяется шкала с отрицательными числами.

Посмотрим на физическую карту мира. Участки суши на ней раскрашены различными оттенками зеленого и коричневого цветов, а моря и океаны раскрашены голубым и синим. Каждому цвету соответствует своя высота (для суши) или глубина (для морей и океанов). На карте нарисована шкала глубин и высот, которая показывает, какую высоту (глубину) означает тот или иной цвет,

Используя такую шкалу, достаточно указать число без всяких дополнительных слов: положительные числа отвечают различным местам на суше, находящимся над поверхностью моря; отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря.

В рассмотренной нами шкале высот за нулевую принимается высота поверхности воды в Мировом океане. Эта шкала используется в геодезии и картографии.

В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся).

3.1 Как в древности считали года?

В разных странах по-разному. Например, в Древнем Египте каждый раз, когда начинал править новый царь, счёт лет начинался заново. Первый год правления царя считался первым годом, второй – вторым и так далее. Когда этот царь умирал и к власти приходил новый, вновь наступал первый год, затем второй, третий. Иным был счет лет, применявшийся жителями одного из древнейших городов мира-Рима. Год основания своего города римляне считали первым, следующий - вторым и так далее.

Счет лет, которым мы пользуемся, возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым триста лет назад. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем НАША ЭРА (а пишем сокращённо Н. Э.). Продолжается наша эра две тысячи лет.

Заключение

Большинство людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел неверное.

Отрицательные числа больше всего встречаются в точных науках, в математике и физике.

В физике отрицательные числа возникают в результате измерений, вычислений физических величин. Отрицательное число – показывает величину электрического заряда. В других науках, как географии и истории, отрицательное число можно заменить словами, например, ниже уровня моря, а в истории – 157 лет до н. э.

Литература

1. Большая научная энциклопедия, 2005.

2. Вигасин А. А,., «История древнего мира» учебник 5 класса , 2001г.

3.Выговская В. В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс » - М.:ВАКО, 2008 г

4. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.

5. Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.

6.. «Изучаем математику», учебное издание, 1994 г.

7. « Элементы историзма в преподавании математики в средней школе », Москва, «Просвещение», 1982г

8. Нурк Э. Р., Тельгмаа А. Э. «Математика 6 класс», Москва, «Просвещение»,1989г

9. «История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.

В древние времена человек, который умел считать, казался колдуном. Не все грамотные люди владели подобным «колдовством». Считать умели, в основном, писцы, а еще, конечно, купцы.

Но даже те, кто умел считать, то и дело сталкивались с какими-то загадками и «подводными камнями». Сложение, самое простое арифметическое действие, освоить при определенном воображении было можно. Надо было только представить, что одинаковые палочки, камешки, ракушки один раз – это овцы, другой раз – плоды, а в третий – и вовсе звезды на небе. А дальше – просто. Знай себе, прибавляй к палочке палочку и считай общее количество. Приблизительно так и нас обучали счету в первом классе.

А вот с вычитанием уже начинались проблемы. Не всегда получалось вычесть из одного числа другое. Иногда отнимаешь, отнимаешь, глядь – ничего уже не осталось. Нечего больше отнимать! Так что вычитание было действием мудреным и не всегда его произвести удавалось.

Правда, можно было бы исхитриться и взять счетные палочки двух цветов, например, черные и белые. Тогда можно было бы вычитать белые палочки, а потом, когда ничего не останется, начать выкладывать черные палочки, как бы про запас. В этом случае вычитание можно было бы произвести всегда. Правда, результат, выраженный в черных палочках, трудно было бы растолковать. Допустим, две белые палочки – это две овцы. А две черные палочки – это сколько овец?

Но тут пришли бы на помощь купцы. «Все понятно!» – сказали бы они. – «Две черные палочки – это две овцы, которые ты должен отдать, но пока еще не отдал. Это долг!»

И святые отцы, подумав, их бы поддержали. «В самом деле», – сказали бы они – «Мы считаем годы от рождества Христова. Но ведь и до того жили на свете люди. Значит, черные палочки – это годы, которые остались от какого-либо древнего события до начала нашего летоисчисления»

В общем, мы придумали толкование отрицательных чисел за минуту. Человечеству же на это понадобилось тысячу с лишним лет. И в тринадцатом веке об отрицательных числах (и не только о них) узнали в Европе. В 1202 году купец (опять купец, никуда от них, купцов, не денешься!) Леонардо Пизанский (1170 - 1250) издал руководство по арифметике, в котором он изложил то, что узнал из математических книг на арабском языке, которые прочел, бывая по торговым делам в Египте. А именно, понятие о нуле (то есть о цифре, которая обозначает отсутствие числа), понятие о позиционной записи чисел (то есть о том, как любое число написать с помощью всего лишь десяти цифр), и правила арифметических действий с числами, записанными подобным образом. Среди прочего, Леонардо Пизанский описал и числа, получающиеся при вычитании из меньшего числа большего, то есть отрицательные числа. Леонардо показал также, что с помощью таких чисел удобно записывать убытки или долги. Был он великий математик, Леонардо Пизанский. Его знали также под кличкой Фибоначчи (сын Боначчи). Одно из открытий Фибоначчи – особенная последовательность чисел, которые в то время считались математическим изыском. А в наше время числа Фибоначчи широко применяются не только в математике, но и в естествознании и даже в экономике.

Вообще, проблемы, подобные вышеописанным проблемам с отрицательными числами, возникали со всеми «обратными» арифметическими действиями. Два целых числа можно было перемножить, и в результате получалось целое число. А вот результат от деления двух целых чисел целым числом оказывался не всегда. Это тоже приводило к недоумениям. Как в детском стихотворении у С.Маршака: «А вышло у меня в ответе: два землекопа и две трети». То есть, для того, чтобы результат деления существовал всегда, пришлось ввести, освоить и понять, так сказать, «физический смысл» дробных чисел. В наше время этому учат во втором классе. Человечество же осваивало дробные числа без малого тысячу лет. И снова – спасибо купцам! Вот уж кому обязана своим прогрессом математика!

Уже в 18-м веке математики придумали специальные числа для того, чтобы получалось еще одно «обратное» действие, извлечение квадратного корня из отрицательных чисел. Это – так называемые «комплексные» числа. Представить их сложно, но привыкнуть к ним – возможно. И польза от применения комплексных чисел большая. Существование этих «странных» чисел значительно облегчило расчет сложных электротехнических цепей переменного тока, а также позволило рассчитать профиль авиационного крыла.

Министерство образования и науки РФ Муниципальное общеобразовательное учреждение Леботёрская основная общеобразовательная школа Чаинский район Томская область РЕФЕРАТ по теме: «История создания отрицательных чисел» Выполнили: ученицы 6 класса Григорьевская Ксения, Захарова Татьяна Руководитель: Стасенко В.К., учитель математики 2010 г. Оглавление 1. Введение…………………………………..……………………………3 2. История создания отрицательных чисел ……………………………..4 3. Отрицательные числа в Китае ……………………………………… ..5 4. Отрицательные числа в Индии ………………………………………..6 5. Список литературы ……………………………………………………. 7 2 Вступление Наглядно представить себе дробь может каждый; для этого достаточно посмотреть на разрезанный арбуз, пирог или на огород, разделенный на грядки. Но представить себе число – 5 труднее. Ведь нельзя отмерить -5м ткани или отрезать –500г хлеба. Зачем же нужны такие странные числа с еще более странными правилами действий над ними? Дело в том, что существует много вещей, которые могут как увеличиваться, так и уменьшаться. Положительные и отрицательные числа как раз и служат для описания изменений величин. Если величина растет, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным. «Если я стою на вершине горы, то я начинаю спуск с её вершины с высоты 2000м Я иду вниз, и высота, на которой я нахожусь, становится все меньше и меньше. Вот я спустилась с высоты 1000м, теперь я на высоте 500м, вот я уже на высоте 200м, и вот, наконец, я спустилась к самому моря. Я стою у кромки воды, и волны лижут подошвы моих ботинок. Значит, я нахожусь на высоте 0м над уровнем моря. Здесь я надеваю водолазный скафандр и, ступая по дну моря, продолжаю спускаться вниз. Я иду вниз, значит, высота, на которой я нахожусь, становится еще меньше, меньше нуля. А я знаю, что есть числа меньше нуля – это отрицательные числа! Следовательно, здесь, на дне моря, высота отрицательная. Сейчас я спустилась на 100м вниз от кромки воды, и могу сказать, что нахожусь на высоте -100м. А если бы я не пользовалась отрицательными числами, то мне пришлось бы сказать, что я нахожусь на глубине 100м.» Отрицательные числа соответствуют точкам, находящимся под поверхностью моря. Так, вершина горы может соответствовать числу 2000м, а затонувшему кораблю соответствует число -2000м, но не как не наоборот. С отрицательными числами мы сталкиваемся каждый раз, говоря о температуре воздуха. Если на улице тепло, то температура воздуха выражается положительным числом, а если мороз, то отрицательным числом. Или когда говорят, что температура воздуха изменилась на -8°, это значит, она понизилась на 8°, а если изменилась на 8°, значит, повысилась на 8°. 3 Так при измерении времени относительно некоторого момента, принятого за начало отсчета, принято считать положительным время событий, происшедших после начала отсчета, и отрицательным – время событий, происшедших до начала отсчета. При измерении сил, действующих на пружину, принято считать положительными силы, растягивающие пружину, и отрицательными – силы, сжимающие пружину, и т. д. Таким образом, отрицательные числа наряду с положительными числами и с числом нуль служат для измерения величин, могущих изменяться в двух противоположных направлениях от некоторого значения, принятого за начало отсчета. Из истории возникновения отрицательных чисел Отрицательные числа появились значительно позже натуральных чисел и обыкновенных дробей, которые были знакомы египтянам и вавилонянам много тысяч лет назад. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрицательные числа не использовали, а если получались отрицательные корни уравнений (при вычитании), они отвергались как невозможные. Первые же сведения об отрицательных числах относятся примерно ко II веку до н.э. Решение многих уравнений сводится к отрицательным корням. Например, в задаче: отец старше сына на 18 лет. Сейчас сыну 25 лет. Через сколько лет отец будет в 2 раза старше сына? Составив уравнение и решив его, получим, что корень равен -7. Значит, 7 лет назад отец был вдвое старше сына. Такие уравнения в древности просто не рассматривались, отрицательные числа не признавались, отрицательные корни уравнений считали ложными. Так во 2 веке до н.э. китайский учёный Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» приводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество. Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличие от положительных. В Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней», но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков «+» и «-», в древности не было ни для чисел, ни для действий. Греки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком. В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. Можно же плюс считать зачеркнутым минусом. Полезность и законность отрицательных чисел утверждались постепенно. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными. 4 В Европе признание наступило на тысячу лет позже, да и то долгое время отрицательные числа называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». Даже знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0 − 4 = 0, так как ничто не может быть меньше, чем ничто. Признанию отрицательных чисел способствовали работы французского математика, физика и философа Рене Декарта (1596-1650). Он предложил геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел – ввел координатную прямую (1637 г.). Окончательное и всеобщее признание как действительно существующие отрицательные числа получили лишь в первой половине 18 века. Тогда же утвердилось и современное обозначение для отрицательных чисел. Только в начале 19 века отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения. Отрицательные числа с большим трудом завоевали себе место в математике. Отрицательные числа в древнем Китае Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бессмысленными. Китайские ученые столкнулись с отрицательными числами примерно во II веке до н.э. при решении уравнений. Более точно сказать трудно, так как император Ши Хуан Ди, разгневавшись на ученых, повелел все научные книги сжечь, а их авторов и читателей казнить. Содержание этих книг дошло до нас лишь в отрывках, откуда известно, что китайцы умели только складывать отрицательные и положительные числа и не знали правила знаков при умножении положительных и отрицательных чисел. Положительные числа трактовали как "прибыль", «имущество» а отрицательные - как "долг", "убыток". 5 Отрицательные числа в древней Индии Индийские математики столкнулись с отрицательными числами при решении уравнений. Индийский математик Брахмагупта (VII век) уже рассматривал их наравне с положительными, он сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами в таком виде: «Сумма двух имуществ есть имущество». (+х) + (+у) = +(х + у) «Сумма двух долгов есть долг». (-х) + (-у) = - (х + у) «Сумма имущества и долга равна их разности» (-х) + (+у) = - (х - у) или (-х) + (+у) = +(у - х) «Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом». 0 – (-х) = +х «Имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом». 0 – (+х) = -х Индийские математики применяли к отрицательным числам все правила четырех действий, но без должного теоретического обоснования. Однако, несмотря на широкое использование отрицательных чисел при решении задач с помощью уравнений, в Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Индийский математик Бхаскара (XII в.) прямо писал: “Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел…” 6 Литература: 1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин, За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5 – 6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989г. 2. Л.М. Фридман, Изучаем математику: Книга для учащихся 5 – 6 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995 г. 3. Э.Г. Гельфман и др., Положительные и отрицательные числа в театре Буратино. Учебное пособие по математике для 6 класса. 3-е издание, испр., - Томск: Издательство Томского университета, 1998г. 4. http://otvet.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7

Рожков Тимофей

Панферов Матвей

Содержание:

Введение

Основная часть

Что такое «число»?

Отрицательные числа в Египте

Отрицательные числа в Древней Азии

Отрицательные числа в Европе

Современное истолкование отрицательных чисел

Заключение

Cписок литературы

В этом году на уроках математики мы начали изучать тему «Положительные и отрицательные числа». У нас возник вопрос, когда возникли отрицательные числа, в какой стране, какие ученые занимались этим вопросом. В Википедии мы прочитали, что отрицательное число - элемент множества отрицательных чисел, которое (вместе с нулём) появилось в математике при расширении множества натуральных чисел. Цель расширения: обеспечить выполнение операции вычитания для любых чисел. В результате расширения получается множество (кольцо) целых чисел, состоящее из положительных (натуральных) чисел, отрицательных чисел и нуля .

В итоге мы решили исследовать историю возникновения отрицательных чисел.

Целью данной работы является исследование истории возникновения отрицательных чисел.

Объект исследования – отрицательные числа

История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла.

Египтяне, вавилоняне, а также древние греки не знали отрицательных чисел и для производства вычислений математики того времени пользовались счетной доской. А так как знаков «плюс» и «минус» не существовало, то они на этой доске положительные числа отмечали красными счётными палочками, а отрицательные - синими. И отрицательные числа долгое время назывались словами, которые означали долг, недостача, а положительные трактовались, как имущество. Первые представления об отрицательных числах возникли еще до нашей эры. Так, во II в. до н.э. китайский ученый Чжан Цань в книге «Арифметика в девяти главах» проводит правила действий с отрицательными числами, которые он понимает как долг, а положительные как имущество.

Отрицательные числа он записывал с помощью чернил другого цвета в отличии от положительных.

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» – красным, «фу» – черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

Индийский математик Брамагупта в VII в. сформулировал правила

действий над положительными и отрицательными числами.

Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее

признание и современную форму обозначения .

.

В III в. н.э. древнегреческий математик Диофант фактически

пользовался отрицательными числами, рассматривая их как

«вычитаемые», а положительные как «прибавляемые».

В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться

примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или

сокращенными словами как наименования в именованных числах.

В 1544 году немецкий математик Михаил Штифель впервые рассматривает отрицательные числа как числа, меньшие нуля (т. е. « меньшие, чем ничто »). С этого момента отрицательные числа рассматриваются уже не как долг, а совсем по-новому. Сам Штифель писал: «Нуль находится между истинными и абсурдными числами…»

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в

употребление лишь со времени Французского математика Р. Декарта (1596 – 1650), давшего геометрическое истолкование

отрицательным числам как направленных отрезков.

В 1637 году он ввел «координатную прямую».

Знаменитый французский математик Рене Декарт в «Геометрии» (1637 год) описывает геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел; положительные числа изображаются на числовой оси точками, лежащими вправо от начала 0, отрицательные – влево. Геометрическое истолкование положительных и отрицательных чисел привело к более ясному пониманию отрицательных чисел, способствовало их признанию.

В В Европе об отрицательных числах первым написал Леонард Пизанский в своей « Книге абака» 1202 году. Изначально они также трактовались, как долг. Но даже несмотря на это в XVII веке такой знаменитый учёный как Паскаль считал, что если из ноля вычесть какое-либо положительное число, то в результате получится ноль .

Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.

В 1831 году Гаусс полно обосновал, что отрицательные числа абсолютно равнозначны по правам с положительными, а то, что их можно применить не во всех случаях значения не имеет. История возникновения отрицательных чисел заканчивается в XIX веке, когда Уильям Гамильтон и Герман Грассман создали полную теорию отрицательных чисел. С этого момента начинается история развития данного математического понятия.

Вывод

В своем работе я исследовала историю возникновения отрицательных чисел. В ходе исследования я сделала вывод:

Современная наука встречается с величинами такой сложной природы, что для их изучения приходится изобретать все новые виды чисел.

При введении новых чисел большое значение имеют два обстоятельства:

а) правила действий над ними должны быть полностью определены и не вели к противоречиям;

б) новые системы чисел должны способствовать или решению новых задач, или усовершенствовать уже известные решения.

К настоящем у времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные числа. Отдельными учеными предлагается считать функции функциональными числами и расширить степень обобщения чисел до двенадцати уровней.

Все эти множества чисел я постараюсь изучить.

Список литературы

Большая математическая энциклопедия. Якушева Г.М. и др.

М.: Филол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕСС, 2005.

Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика

Глав. ред. М. Д. Аксёнова. – М.: Аванта+,1998.

История математики в школе, IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.

Википедия. Свободная энциклопедия.

Математический энциклопедический словарь. М., Сов. энциклопедия, 1988.

История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели в них особого смысла. Положительные числа долго трактовали как "прибыль", а отрицательные – как "долг", "убыток". Лишь в Древней Индии и Китае догадались вместо слов "долг в 10 юаней" писать просто "10 юаней", но рисовать эти иероглифы черной тушью. А знаков "+" и "–", о которых мы говорили, в древности не было ни для чисел, ни для действий.

В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. В Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Бхасхара прямо писал: "Люди не одобряют отвлеченных отрицательных чисел..." Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование "имущество-долг" вызывало недоумения и сомнения. В самом деле, можно "складывать" или "вычитать" имущества и долги, но какой реальный смысл может иметь"умножение" или "деление" имущества на долг? Греки тоже поначалу знаков не использовали, пока в III веке Диофант Александрийский не стал обозначать вычитание знаком.

Современные знаки «+» и «–» появились в Германии в последнее десятилетие XVв. в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (1489г.). Чех Ян Видман уже писал «+» и «–» для сложения и вычитания. А чуть позднее немецкий ученый Михель Штифель написал «Полную Арифметику», которая была напечатана в 1544 году, именно напечатана, а не написана от руки. В ней встречаются такие записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа первого вида он назвал «меньше, чем ничего» или «ниже, чем ничего». Числа второго вида назвал «больше, чем ничего» или «выше, чем ничего». Вам, конечно, понятны эти названия, потому что «ничего» – это 0.

Введение отрицательных чисел было вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Отрицательные числа систематически употреблялись индийскими математиками еще в VIXI веках. В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь после работ Р. Декарта в XVII веке, давшего их геометрическое истолкование.