Справочник - Математика

Сравнивать натуральные числа очень легко. Всегда можно сказать, какое из двух различных натуральных чисел меньше, а какое больше. Скажем: «7 меньше 12» или «12 больше 7».

Например, если на уроке рисования у Оли было 12 цветных карандашей, а у Игоря 7, то ясно, что у Оли карандашей больше, чем у Игоря, а у Игоря их меньше, чем у Оли.

При сравнении двух чисел в записи слово меньше заменяют знаком «<», а слово больше — знаком «>». Запишем сказанное с помощью знаков сравнения: 7< 12 или 12 > 7.

Обратите внимание: острый «клювик» значков «больше» и «меньше» всегда направлен в сторону меньшего из двух чисел.

Если бы и у Оли и у Игоря было бы по 12 или по 7 карандашей, мы бы сказали, что у них равное количество карандашей, потому что 12 равно 12, а 7 равно 7.

Слово равно при записи заменяют знаком «=».

Две подруги Настя и Аня решили посчитать, кто из них за неделю в школе получил больше пятёрок. Настя считала: «1,2, 3, 4, 5, 6, 7». Всего у Насти 7 пятёрок. Затем считала Аня: «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9». Всего у Ани 9 пятерок. Понятно, что Аня за неделю получила пятёрок больше, чем Настя: 9 > 7.

При сравнении двух натуральных чисел больше то, которое стоит в натуральном ряду правее.

Когда числа большие, иногда трудно сразу определить, какое из них правее в натуральном ряду.

При сравнении двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше то число, в котором цифр больше.

Например: 93 < 256, потому что в первом числе две цифры, а во втором — три.

Многозначные натуральные числа с одинаковым количеством цифр сравниваются поразрядно, начиная со старшего разряда.

Сначала сравниваются единицы самого старшего разряда, потом следующего, следующего и так далее. Например, сравниваем числа 5791 и 5319.

Рассуждай так:

5 791 =5 т. 7 с. 9 д. 1 ед.

5 319-5 т. З с. 1 д. 9 ед.

Сравниваю единицы тысяч. В разряде единиц тысяч числа 5 791 - 5 единиц, в разряде единиц тысяч числа 5 319-5 единиц. Сравнив единицы тысяч, ещё не получаю ответа на вопрос, какое из чисел больше. Рассуждаю дальше. Сравниваю сотни. В разряде сотен числа 5 791 — 7 единиц, в разряде сотен числа 5 319 - 3 единицы, сравнив, получаю 7 > 3, поэтому 5 791 > 5 319.

Числа можно располагать в порядке убывания и в порядке возрастания. Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке убывания.

Давай запишем числа 7,11,21, 791, 2 в порядке убывания. Рассуждай так:

Отыщу большее число. Числа 7 и 2 — однозначные, 11 и 21 — двузначные, 791 — трёхзначное число и, следовательно, самое большое. Пишу на первом месте 791. Из двузначных чисел 11 и 21 большее 21. Пишу за числом 791 число 21, а затем 11. Из чисел 7 и 2 большее 7. За числом 11 пишу 7, а затем 2.

791, 21, 11, 7, 2 — запись данных чисел в порядке их убывания.

Если в записи нескольких натуральных чисел каждое следующее число больше предыдущего, то говорят, что числа записаны в порядке возрастания.

А теперь запишем числа 12, 5, 31, 279, 268 в порядке возрастания. Рассуждай так:

Среди чисел 12, 5, 31, 279, 268 отыщу меньшее. Числа 279 и 268 — трехзначные, 12 и 31 — двузначные, 5 — однозначное. Меньшее число — 5. На первом месте пишу число 5. Из двухзначеных чисел 12 меньше, 31 большее. За числом 5 пишу 12, затем 31. 5, 12, 31 3. Из трёхзначных чисел 268 меньшее, 279 большее. За числом 31 пишу 268, затем 279. 5, 12, 31, 268, 279 — запись данных чисел в порядке их возрастания.

При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... .

Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше, и больше то, которое при счете называют позже. Единица – самое маленькое натуральное число. Число 4 меньше, чем. 7, а число 8 больше, чем 7.

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой.

Например, точка А(4) лежит левее точки В(7) (рис. 16). Нуль меньше любого натурального числа.

Рис. 16. Координатный луч

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства , применяя знаки < (меньше) и > (больше). Например, 4 < 7, 8 > 7. Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это записывают в виде двойного неравенства 2 < 3 < 6. Так как нуль меньше, чем единица, то записывают 0 < 1.

Многозначные числа сравнивают так. Число 2305 больше, чем 984, потому что 2305 – четырехзначное число, а 984 – трехзначное. Числа 2305 и 1178 – четырехзначные, но 2305>1178, потому что в первом числе больше тысяч, чем во втором. В четырехзначных числах 2305 и 2186 поровну тысяч, но сотен в первом числе больше, и потому 2305 > 2186.

Знаками < и > обозначают также результат сравнения отрезков. Если отрезок АВ короче отрезка CD, то пишут:

Если же отрезок АВ длиннее отрезка CD, то пишут:

Неравенства читают так: левую часть в именительном падеже, а правую – в родительном падеже.

Например: 55<128 – пятьдесят пять меньше ста двадцати восьми.

Немало различных способов записи, чисел было создано людьми. В Древней Руси числа обозначали буквами с особым знаком «~» (титло), который писали над буквой (рис. 17).

Рис. 17. Запись чисел в Древней Руси

Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв – десятки, а последние девять букв – сотни. Число десять тысяч называли словом «тьма» (и теперь мы говорим: «народу – тьма тъмущая»).

Современная достаточно простая и удобная десятичная система записи чисел была заимствована европейцами у арабов, которые в свою очередь переняли ее у индусов. Поэтому цифры, которыми мы сейчас пользуемся, европейцы называют «арабскими», а арабы – «индийскими». Эта система была введена в Европе примерно в 1120 году английским ученым-путешественником Аделардом . К 1600 году она была принята в большинстве стран мира.

Русские названия чисел тесно связаны с десятичной системой счисления. Например, семнадцать означает «семь на десять», семьдесят – «семь десятков», а семьсот – «семь сотен».

До сих пор используются и римские цифры, которые употреблялись в Древнем Риме уже около 2600 лет тому назад.

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000.

Остальные числа записываются этими цифрами с применением сложения и вычитания. Так, например, число XXVII означает 27, так как

10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 27.

Если меньшая по значению цифра (I, X, С) стоит перед большей, то ее значение вычитается.

Например, IV означает 4(5 - 1 = 4), IX означает 9(10 – 1 = 9), ХС означает 90. Таким образом, число MCMLXXXIX означает 1989. так как:

1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (10 - 1) = 1989.

В настоящее время римские цифры обычно применяются при нумерации глав и разделов книг, месяцев года, для обозначений дат значительных событий, годовщин.

Для вычислений запись чисел с помощью римских цифр неудобна. В этом вы можете убедиться сами, если попробуете выполнить, например, сложение чисел CCXCVII и ХLIХ или деление числа CCXCVII на число IX.

Навигация по странице:

Определение. Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: 1 , 2 , 3 , …, n , …

Множество натуральных чисел принято обозначать символом N (от лат. naturalis - естественный).

Натуральные числа в десятичной системе счисления записываются с помощью десяти цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Множество натуральных чисел - является упорядоченным множеством , т.е. для любых натуральных чисел m и n справедливо одно из соотношений:

• либо m = n (m равно n ),
• либо m > n (m больше n ),
• либо m < n (m меньше n ).

• Наименьшее натурально число - единица (1 )
• Наибольшего натурального числа не существует .
• Нуль (0 ) не является натуральным числом.

Множество натуральных чисел бесконечно , так как для любого числа n всегда найдется число m , которое больше n

Из соседних натуральных чисел, число, которое стоит левее числа n называется предыдущим числу n , а число, которое стоит правее называется следующим за n .

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям над натуральными числами (операциям в результате, которых получается натуральных чисел) относятся следующие арифметические операции:

• Сложение
• Умножение
• Возведение в степень a b , где a - основание степени и b - показатель степени. Если основание и показатель - натуральные числа, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как их результат не всегда будет натуральным числом.

• Вычитание (При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого)
• Деление

Классы и разряды

Разряд - положение (позиция) цифры в записи числа.

Низший разряд - самый правый. Старший разряд - самый левый.

Пример:

5 - единиц, 0 - десятков, 7 - сотен,
2 - тысячи, 4 - десятков тысяч, 8 - сотен тысяч,
3 - миллиона, 5 - десятков миллионов, 1 - сотня миллионов

Для удобства чтения, натуральных числа разбивают, на группы по три цифры в каждой начиная справа.

Класс - группа из трех цифр, на который разбито число, начиная справа. Последний класс может состоять из трех, двух или одной цифры.

• Первый класс - класс единиц;
• Второй класс - класс тысяч;
• Третий класс - класс миллионов;
• Четвертый класс - класс миллиардов;
• Пятый класс - класс триллионов;
• Шестой класс - класс квадрильонов (квадриллионов);
• Седьмой класс - класс квинтильонов (квинтиллионов);
• Восьмой класс - класс секстильонов;
• Девятый класс - класс септильонов;

Пример:

34 - миллиарда 456 миллионов 196 тысяч 45

Сравнение натуральных чисел

1. Сравнение натуральных чисел с разным количеством цифр

   Среди натуральных чисел больше то, у которого больше цифр

2. Сравнение натуральных чисел с равным количеством цифр

   Сравнить числа поразрядно, начиная со старшего разряда. Больше то, у которого больше единиц в наивысшем одноименном разряде

Пример:

3466 > 346 - так как число 3466 состоит из 4 цифр, а число 346 из 3 цифр.

34666 < 245784 - так как число 34666 состоит из 5 цифр, а число 245784 из 6 цифр.

Пример:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Второе из натуральных чисел с равным количеством цифр больше, так как 6 > 2.