Circumference ay isang figure na binubuo ng lahat ng mga punto ng eroplano na matatagpuan sa isang naibigay na distansya mula sa isang naibigay na punto. Ang puntong ito ay tinatawag na gitna bilog, at ang segment na nagkokonekta sa gitna sa anumang punto sa bilog ay radius mga bilog.
Tinatawag ang bahagi ng eroplanong napapaligiran ng bilog sa paligid.
Pabilog na sektor o simple lang sektor ay ang bahagi ng isang bilog na napapaligiran ng isang arko at dalawang radii na nagdudugtong sa mga dulo ng arko sa gitna ng bilog.
Segment ay ang bahagi ng isang bilog na nililigiran ng isang arko at isang kuwerdas na nagpapasaklaw dito.
Pangunahing termino
Tangent
Ang isang tuwid na linya na may isang karaniwang punto lamang ay tinatawag padaplis sa isang bilog, at ang kanilang karaniwang punto ay tinatawag punto ng pakikipag-ugnayan tuwid na linya at bilog.
Tangent na mga katangian
Ang isang padaplis sa isang bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng tangency.
Ang mga segment ng tangents sa isang bilog na iginuhit mula sa isang punto ay pantay at gumagawa ng mga pantay na anggulo na may isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at sa gitna ng bilog.
Chord
Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog ay tinatawag na nito chord. Ang isang chord na dumadaan sa gitna ng isang bilog ay tinatawag diameter
Mga katangian ng chord
Ang diameter (radius), na patayo sa chord, ay naghahati sa chord na ito at ang parehong mga arko ay na-subtend nito sa kalahati. Ang converse theorem ay totoo rin: kung ang diameter (radius) ay humahati sa isang chord, kung gayon ito ay patayo sa chord na ito.
Ang mga arko na nakapaloob sa pagitan ng parallel chords ay pantay.
Kung ang dalawang chord ng isang bilog, AB At CD bumalandra sa isang punto M, kung gayon ang produkto ng mga segment ng isang chord ay katumbas ng produkto ng mga segment ng isa pang chord: AM MB = CM MD.
Mga Katangian ng isang Circle
Ang isang tuwid na linya ay maaaring walang mga karaniwang puntos na may bilog; magkaroon ng isang karaniwang punto sa bilog ( padaplis); may dalawang puntong pareho sa kanya ( secant).
Sa pamamagitan ng tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong linya, maaari kang gumuhit ng isang bilog, at isa lamang.
Ang punto ng pakikipag-ugnay ng dalawang bilog ay namamalagi sa linya na nagkokonekta sa kanilang mga sentro.
Tangent at secant theorem
Kung ang isang tangent at isang secant ay iginuhit mula sa isang punto na nakahiga sa labas ng bilog, kung gayon ang parisukat ng haba ng tangent ay katumbas ng produkto ng secant at ang panlabas na bahagi nito: M.C. 2 = MA MB.
Ang secant theorem
Kung ang dalawang secant ay iginuhit mula sa isang puntong nasa labas ng bilog, kung gayon ang produkto ng isang secant at ang panlabas na bahagi nito ay katumbas ng produkto ng isa pang secant at ang panlabas na bahagi nito. MA MB = MC MD.
Mga anggulo sa isang bilog
Sentral Ang anggulo sa isang bilog ay isang anggulo ng eroplano na may vertex sa gitna nito.
Tinatawag ang isang anggulo na ang vertex ay nasa isang bilog at ang mga gilid ay nagsalubong sa bilog na ito nakasulat na anggulo.
Anumang dalawang punto sa isang bilog ay hatiin ito sa dalawang bahagi. Ang bawat isa sa mga bahaging ito ay tinatawag arko mga bilog. Ang sukat ng isang arko ay maaaring maging sukatan ng katumbas nitong gitnang anggulo.
Ang arko ay tinatawag kalahating bilog, kung ang segment na nagdudugtong sa mga dulo nito ay isang diameter.
Mga katangian ng mga anggulo na nauugnay sa isang bilog
Ang isang naka-inscribe na anggulo ay maaaring katumbas ng kalahati ng katumbas nitong gitnang anggulo o pupunuin ang kalahati ng anggulong ito sa 180°.
Ang mga anggulo na nakasulat sa parehong bilog at nakapatong sa parehong arko ay pantay.
Ang naka-inscribe na anggulo na na-subtend ng diameter ay 90°.
Ang anggulo na nabuo sa pamamagitan ng isang padaplis sa isang bilog at isang secant na iginuhit sa pamamagitan ng punto ng contact ay katumbas ng kalahati ng arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.
Mga haba at lugar
Circumference C radius R kinakalkula ng formula:
C= 2 R.
Square S radius ng bilog R kinakalkula ng formula:
S= R 2 .
Inscribed at circumscribed circles
Bilog at tatsulok 
ang gitna ng incircle ay ang punto ng intersection ng mga bisectors ng tatsulok, ang radius nito r kinakalkula ng formula:
r = ,
saan S ay ang lugar ng tatsulok, at - semiperimeter;
R= ,
R= ;
dito ang a, b, c ay ang mga gilid ng tatsulok, ay ang anggulo sa tapat ng gilid a, S- lugar ng isang tatsulok;
ang gitna ng bilog na nakapaligid sa isang kanang tatsulok ay nasa gitna ng hypotenuse;
Ang mga sentro ng circumscribed at inscribed na bilog ng isang tatsulok ay nag-tutugma lamang kung ang tatsulok na ito ay regular.
Bilog at may apat na gilid
ang isang bilog ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang matambok na may apat na gilid kung at kung ang kabuuan ng panloob na magkasalungat na mga anggulo ay katumbas ng 180°:
180°;
Ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang may apat na gilid kung at kung ang mga kabuuan ng magkasalungat na panig nito ay pantay:
a + c = b + d;
ang paralelogram ay maaaring ilarawan bilang isang bilog kung at kung ito ay isang parihaba;
posibleng ilarawan ang isang bilog sa paligid ng isang trapezoid kung at kung ang trapezoid na ito ay isosceles; ang gitna ng bilog ay namamalagi sa intersection ng axis ng simetrya ng trapezoid na may patayo bisector sa gilid;
Ang isang bilog ay maaaring isulat sa isang paralelogram kung at kung ito ay isang rhombus.
1. Dalawang padaplis mula sa isang punto.
Hayaang iguhit ang dalawang tangent na $$AM$$ at $$AN$$ sa isang bilog na may gitna sa puntong $$O$$, mga puntos na $$M$$ at $$N$$ na nasa bilog (Fig. 1) .
Sa pamamagitan ng kahulugan ng tangent $$OM \perp AM$$ at $$ON \perp AN$$. Sa kanang tatsulok na $$AOM$$ at $$AON$$, ang hypotenuse na $$AO$$ ay karaniwan, ang mga binti na $$OM$$ at $$ON$$ ay pantay, na nangangahulugang $$\Delta AOM = \ Delta AON$$. Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod na ang $$AM=AN$$ at $$\angle MAO = \angle NAO$$. Kaya, kung ang dalawang tangent ay iguguhit mula sa isang punto patungo sa isang bilog, kung gayon:
1.1$$(\^{\circ}$$. !} ang mga padaplis na segment mula sa puntong ito hanggang sa padaplis na mga punto ay pantay;
1.2$$(\^{\circ}$$. !} isang tuwid na linya na dumadaan sa gitna ng bilog at ang isang naibigay na punto ay hinahati ang anggulo sa pagitan ng mga tangent.
Gamit ang property 1.1$$(\^{\circ}$$, легко решим следующие две задачи. (В решении используется тот факт, что в каждый треугольник можно вписать окружность).!}
Batay sa $$AC$$ isosceles triangle Ang $$ABC$$ ay matatagpuan sa puntong $$D$$, na may $$DA = a$$, $$DC = b$$ (Fig. 2). Ang mga bilog na nakasulat sa mga tatsulok na $$ABD$$ at $$DBC$$ ay magkadikit sa linya ng $$BD$$ sa mga puntong $$M$$ at $$N$$, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang segment na $$MN$$.
.
$$\triangle$$ Hayaan ang $$a > b $$. Tukuyin natin ang $$x = MN$$, $$y = ND$$, $$z = BM$$.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga tangent $$DE = y$$, $$KD = x + y $$, $$AK = AP = a - (x + y)$$, $$CE = CF = b - y$$ , $$BP = z$$, at $$BF = z + x$$. Ipahayag natin ang mga gilid na gilid (Larawan 2a): $$AB = z+a-x-y$$, $$BC=z+x-b-y$$. Sa pamamagitan ng kundisyon $$AB=BC$$, kaya $$z+a-x -y = z+x+b-y$$. Mula dito makikita natin ang $$x=\frac((a-b))(2)$$, ibig sabihin, $$MN=\frac((a-b))(2)$$. Kung $$a \lt b$$, kung gayon $$MN=\frac((b-a))(2)$$. Kaya $$MN=\frac(1)(2)|a-b|$$. $$\blacktriangle$$
SAGOT
$$\frac(|a-b|) (2)$$
Patunayan na sa isang tamang tatsulok ang kabuuan ng mga binti ay katumbas ng dalawang beses sa kabuuan ng radii ng mga naka-inscribe at naka-circumscribe na mga bilog, ibig sabihin, $$a+b=2R+2r$$.
$$\triangle$$ Hayaang ang $$M$$, $$N$$ at $$K$$ ang mga punto ng tangency sa pagitan ng mga gilid ng bilog kanang tatsulok$$ABC$$ (Fig. 3), $$AC=b$$, $$BC=a$$, $$r$$ - radius ng inscribed na bilog, $$R$$ - radius ng circumscribed circle . Alalahanin na ang hypotenuse ay ang diameter ng circumscribed circle: $$AB=2R$$. Dagdag pa, $$OM \perp AC$$, $$BC \perp AC$$, samakatuwid, $$OM \parallel BC$$, katulad ng $$ON \perp BC$$, $$AC \perp BC$$ , ay nangangahulugang $$ON \parallel AC$$. Ang isang may apat na gilid na $$MONC$$ ay ayon sa kahulugan ay isang parisukat, ang lahat ng panig nito ay katumbas ng $$r$$, kaya ang $$AM = b - r$$ at $$BN = a - r$$.
Sa pamamagitan ng pag-aari ng mga tangent $$AK=AM$$ at $$BK=BN$$, samakatuwid $$AB = AK + KB = a+b-2r$$, at dahil $$AB=2R$$ , kung gayon kami kumuha ng $$a+b=2R+2r$$. $$\blacktriangle$$
Property 1.2$$(\^{\circ}$$ сформулируем по другому: !} Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang anggulo ay nasa bisector ng anggulong iyon.
Ang isang trapezoid na $$ABCD$$ na may mga base na $$AD$$ at $$BC$$ ay inilalarawan sa paligid ng isang bilog na may gitna sa puntong $$O$$ (Fig. 4a).
a) Patunayan na $$\angle AOB = \angle COD = $$90$$(\^{\circ}$$ .!}
b) Hanapin ang radius ng bilog kung $$BO = \sqrt(5)$$ at $$AO = 2 \sqrt(5)$$. (Larawan 4b)
$$\tatsulok$$ a) Ang bilog ay nakasulat sa anggulo na $$BAD$$, sa pamamagitan ng property 1.2$$(\^{\circ}$$ $$AO$$ - биссектриса угла $$A$$, $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{1}{2} \angle A$$; $$BO$$ - биссектриса угла $$B$$, $$\angle 3 = \angle 4 = \frac{1}{2} \angle B$$. Из параллельности прямых $$AD$$ и $$BC$$ следует, что $$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$$,поэтому в треугольнике $$AOB$$ из $$\angle 1 + \angle 3 = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 90^{\circ}$$ следует $$\angle AOB = 90^{\circ}$$.!}
Katulad ng $$CO$$ at $$DO$$ bisectors ng mga anggulo $$C$$ at $$D$$ ng isang trapezoid, $$\angle COD = 180^(\circ) - \frac(1)( 2)(\ anggulo C + \angle D) = 90^(\circ)$$.
b) Ang tatsulok na $$AOB$$ ay right-angled na may mga binti $$AO = 2 \sqrt(5)$$ at $$BO = \sqrt(5)$$. Hanapin ang hypotenuse $$AB=\sqrt(20+5) = 5$$. Kung ang isang bilog ay dumampi sa gilid na $$AB$$ sa puntong $$K$$, kung gayon ang $$OK \perp AB$$ at $$OK$$ ay ang radius ng bilog. Sa pamamagitan ng pag-aari ng isang right triangle, $$AB \cdot OK = AO \cdot BO$$, kung saan ang $$OK = \frac(2\sqrt(5)\cdot \sqrt(5))(5) = 2$ $. $$\blacktriangle$$
SAGOT
2. Ang anggulo sa pagitan ng tangent at chord na may karaniwang punto sa bilog.
Alalahanin na ang sukat ng antas ng isang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng sukat ng antas ng arko kung saan ito nakasalalay.
Theorem 1. Ang sukat ng anggulo sa pagitan ng isang tangent at isang chord na may isang karaniwang punto sa isang bilog ay katumbas ng kalahati ng sukat ng antas ng arko na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito.
$$\square$$ Hayaang ang $$O$$ ang sentro ng bilog, ang $$AN$$ ang tangent (Fig. 5). Tukuyin natin ang anggulo sa pagitan ng tangent $$AN$$ at ang chord na $$AB$$ bilang $$\alpha$$. Ikonekta natin ang mga puntos na $$A$$ at $$B$$ sa gitna ng bilog.
Kaya, ang sukat ng antas ng anggulo sa pagitan ng tangent at ang chord ay katumbas ng kalahati ng sukat ng antas ng arko $$AnB$$, na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito, at, samakatuwid, ang anggulo na $$BAN$$ ay pantay. sa anumang naka-inscribe na anggulo na nasa ilalim ng arko na $$AnB$$ . (Maaaring gumawa ng mga katulad na argumento para sa anggulo na $$MAB$$). $$\blacksquare$$
Ang puntong $$C$$ ay nasa bilog at nahihiwalay sa mga tangent na iginuhit mula sa puntong $$M$$ hanggang sa bilog sa mga distansyang $$CS = a$$ at $$CP = b$$ (Fig. 6). Patunayan na ang $$CK = \sqrt(ab)$$.
$$\triangle$$ Iguhit natin ang mga chord na $$CA$$ at $$CB$$. Ang anggulo na $$SAC$$ sa pagitan ng tangent $$SA$$ at ang chord na $$AC$$ ay katumbas ng inscribed na anggulo na $$ABC$$. At ang anggulong $$PBC$$ sa pagitan ng tangent $$PB$$ at ang chord na $$BC$$ ay katumbas ng inscribed na anggulo na $$BAC$$. Nakakuha kami ng dalawang pares ng magkatulad na right triangle na $$\Delta ASC \sim\Delta BKC$$ at $$\Delta BPC \sim \Delta AKC$$. Mula sa pagkakatulad mayroon kaming $$\dfrac(a)(AC)=\dfrac(x)(BC)$$ at $$\dfrac(b)(BC)=\dfrac(x)(AC)$$, na nagpapahiwatig ng $ $ab=x^2$$, $$x=\sqrt(ab)$$. (Kung ang projection ng puntong $$C$$ sa linyang $$AB$$ ay nasa labas ng segment na $$AB$$, hindi gaanong nagbabago ang patunay). (Ch. atbp.) $$\blacktriangle$$
Pagtanggap inilapat sa solusyon - pagguhit ng "nawawalang" chord - madalas na nakakatulong sa mga problema at theorems na may bilog at tangent, tulad ng, halimbawa, sa patunay ng sumusunod na theorem "tungkol sa tangent at secant".
Theorem 2. Kung mula sa isang punto $$M$$ isang padaplis na $$MA$$ at isang secant na $$MB$$ ay iguguhit sa isang bilog, na nagsasalubong sa bilog sa puntong $$C$$ (Larawan 7), kung gayon ang pagkakapantay-pantay na $$MA ay wasto ^2 = MB \cdot MC$$, ibig sabihin. kung ang isang padaplis at isang secant ay iguguhit mula sa isang puntong $$M$$ patungo sa isang bilog, kung gayon ang parisukat ng segment ng padaplis mula sa puntong $$M$$ hanggang sa punto ng tangency ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga segment ng secant mula sa puntong $$M$$ hanggang sa mga punto ng intersection nito sa bilog.
$$\square$$ Iguhit natin ang mga chord na $$AC$$ at $$AB$$. Ang anggulong $$MAC$$ sa pagitan ng tangent at ang chord ay katumbas ng naka-inscribe na anggulo na $$ABC$$, na parehong sinusukat sa kalahati ng sukat ng degree ng arc na $$AnC$$. Sa mga tatsulok na $$MAC$$ at $$MBA$$, ang mga anggulo na $$MAC$$ at $$MBA$$ ay pantay, at ang vertex angle na $$M$$ ay karaniwan. Ang mga tatsulok na ito ay
ay magkatulad, mula sa pagkakatulad mayroon kaming $$MA/MB = MC/MA$$, na nagpapahiwatig ng $$MA^2 = MB \cdot MC$$. $$\blacksquare$$
Ang radius ng bilog ay $$R$$. Mula sa puntong $$M$$ isang tangent $$MA$$ at isang secant na $$MB$$ ay iguguhit, na dumadaan sa gitnang $$O$$ ng bilog (Larawan 8). Hanapin ang distansya sa pagitan ng puntong $$M$$ at sa gitna ng bilog kung $$MB = 2MA$$.
$$\triangle$$ Tukuyin natin ang kinakailangang distansya $$x: \: x=MO$$, pagkatapos ay $$MB = x+R$$, $$MC=x-R$$ at ayon sa kundisyon $$MA=MB /2= (x+R)/2$$. Sa pamamagitan ng tangent at secant theorem, $$(x+R)^2/4=(x+R)(x-R)$$, mula sa kung saan, pagbabawas ng $$(x+R)$$, makakakuha tayo ng $$( x+R )/4=x-R$$. Madali nating mahanap ang $$x = \dfrac(5)(3)R$$. $$\blacktriangle$$
SAGOT
$$\dfrac(5)(3)R$$
3. Katangian ng mga chord ng bilog.
Ito ay kapaki-pakinabang upang patunayan ang mga pag-aari na ito sa iyong sarili (ito ay mas mahusay na reinforced), maaari mong pag-aralan ang mga patunay mula sa aklat-aralin.
1.3$$(\^{\circ}$$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящей через середину хорды (не являющуюся диаметром) перпендикулярен ей. !}
1.4$$(\^{\circ}$$. Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равном расстоянии от центра окружности находятся равные хорды. !}
1.5$$(\^{\circ}$$. !} Ang mga arko ng isang bilog na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel chords ay pantay (Fig. 9 ay magmumungkahi ng landas ng patunay).
1.6$$(\^{\circ}$$. Если две хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$, то $$AM \cdot MB = CM \cdot MD$$, т. е. произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды (на рис. 10 $$\Delta AMC \sim \Delta DMB$$). !}
Patunayan natin ang sumusunod na pahayag.
1.7$$(\^{\circ}$$. !} Kung sa isang bilog na radius na $$R$$ ang naka-inscribe na anggulo na nasa ilalim ng chord ng haba na $$a$$ ay katumbas ng $$\alpha$$, kung gayon ang $$a = 2R\textrm(sin)\alpha$$ .
$$\blacksquare$$ Ilagay sa bilog na radius na $$R$$ ang chord $$BC = a$$, ang inscribed na angle na $$BAC$$ subtend ang chord $$a$$, $$\angle BAC = \ alpha$$ (Larawan 11 a,b).
Iguhit natin ang diameter na $$BA^(")$$ at isaalang-alang ang tamang tatsulok na $$BA^(")C$$ ($$\angle BCA^(")= 90^(\circ)$$, batay sa ang diameter).
Kung ang anggulo na $$A$$ ay talamak (Larawan 11a), ang gitnang $$O$$ at ang vertex na $$A$$ ay nasa magkabilang panig ng tuwid na linya $$BC$$, $$\ anggulo A^(") = \angle A$$ at $$BC = BA^(") \cdot \textrm(sin)A^(")$$, ibig sabihin, $$a=2R\textrm(sin)A^ (")$ $.
Kung ang anggulo na $$A$$ ay malabo, ang gitnang $$O$$ at ang vertex na $$A$$ ay nasa tabi. magkaibang panig mula sa tuwid na linya $$BC$$ (Fig. 11b), pagkatapos ay $$\angle A^(") = 180^(\circ) - \angle A$$ at $$BC = BA^(") \cdot \textrm (sin)A^(")$$, ibig sabihin, $$a=2R\textrm(sin)(180-A^("))=2R\textrm(sin)A^(")$$.
Kung $$\alpha = 90^(\circ)$$, kung gayon ang $$BC$$ ay ang diameter, $$BC = 2R = 2R\textrm(sin)90^(\circ)$$.
Sa lahat ng kaso, ang pagkakapantay-pantay na $$a=2R\textrm(sin)A^(")$$ ay totoo. $$\blacktriangle$$
Kaya, $$\boxed(a = 2R\textrm(sin)\alpha)$$ o $$\boxed(R = \dfrac(a)(2\textrm(sin)\alpha))$$. (*)
Hanapin ang radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na $$ABC$$, kung saan ang $$AB = 3\sqrt(3)$$, $$BC = 2$$ at anggulo $$ABC = 150^(\circ) $$.
$$\triangle$$ Sa bilog na nakapaligid sa tatsulok na $$ABC$$, ang anggulo na $$B$$ na nasa ilalim ng chord na $$AC$$ ay kilala. Mula sa napatunayang formula ito ay sumusunod sa $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)B)$$.
Ilapat natin ang cosine theorem sa tatsulok na $$ABC$$ (Fig. 12) at isaalang-alang iyon
$$\textrm(cos)150^(\circ) = \textrm(cos)(180^(\circ)-30^(\circ)) = -\textrm(cos)30^(\circ) = -\ dfrac(\sqrt(3))(2)$$, nakukuha namin
$$AC^2 = 27+4+2\cdot 3\sqrt(3) \cdot 2 \cdot \dfrac(\sqrt(3))(2) = 49,\: AC=7$$.
Nahanap namin ang $$R = \dfrac(AC)(2\textrm(sin)150^(\circ)) = \dfrac(7)(2\textrm(sin)30^(\circ)) = 7$$. $$\blacktriangle$$
SAGOT
Ginagamit namin ang pag-aari ng intersecting chord upang patunayan ang sumusunod na theorem.
Teorama 3. Hayaan ang $$AD$$ na maging bisector ng tatsulok na $$ABC$$, kung gayon
$$AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot CD$$ , ibig sabihin. Kung$$AB=c,\: AC=b,\: BD=x,\:DC=y$$ , Iyon$$AD^2 = bc-xy$$ (Larawan 13a).
$$\square$$ Ilarawan natin ang isang bilog sa paligid ng triangle $$ABC$$ (Fig. 13b) at tukuyin ang punto ng intersection ng pagpapatuloy ng bisector $$AD$$ na may bilog bilang $$B_1$$ . Tukuyin natin ang $$AD = l $$ at $$DB_1 = z $$. Ang mga naka-inscribe na anggulo na $$ABC$$ at $$AB_1C$$ ay pantay, $$AD$$ ang bisector ng anggulo $$A$$, kaya $$\Delta ABD \sim \Delta AB_1C$$ (sa dalawang anggulo ). Mula sa pagkakatulad mayroon kaming $$\dfrac(AD)(AC) = \dfrac(AB)(AB_1)$$, ibig sabihin, $$\dfrac(l)(b) = \dfrac(c)(l+z) $ $, kung saan $$l^2=bc-lz$$. Sa pamamagitan ng pag-aari ng intersecting chords, $$BD\cdot DC = AD \cdot DB_1$$, ibig sabihin, $$xy=lz$$, kaya makuha namin ang $$l^2=bc-xy$$ . $$\blacksquare$$
4. Dalawang padaplis na bilog
Upang tapusin ang seksyong ito, isasaalang-alang namin ang mga problema sa dalawang tangent na bilog. Ang dalawang bilog na may isang karaniwang punto at isang karaniwang tangent sa puntong iyon ay tinatawag na padaplis. Kung ang mga bilog ay matatagpuan sa parehong bahagi ng isang karaniwang padaplis, ang mga ito ay tinatawag may kaugnayan sa loob(Larawan 14a), at kung matatagpuan sa magkabilang panig ng tangent, kung gayon sila ay tinatawag na nauugnay sa panlabas(Larawan 14b).
Kung ang $$O_1$$ at $$O_2$$ ay ang mga sentro ng mga lupon, kung gayon sa kahulugan ng tangent $$AO_1 \perp l$$, $$AO_2 \perp l$$, samakatuwid, sa parehong mga kaso pangkaraniwang puntotouch ay namamalagi sa linya ng mga sentro.
Dalawang bilog ng radii na $$R_1$$ at $$R_2$$ ($$R_1 > R_2$$) ang panloob na tangent sa puntong $$A$$. Sa pamamagitan ng puntong $$B$$, na nakahiga sa mas malaking bilog, isang tuwid na linya ang iguguhit na dumadampi sa mas maliit na bilog sa puntong $$C$$ (Fig. 15). Hanapin ang $$AB$$ kung $$BC = a$$.
$$\triangle$$ Hayaang ang $$O_1$$ at $$O_2$$ ang mga sentro ng mas malaki at mas maliliit na bilog, ang $$D$$ ang intersection point ng chord na $$AB$$ kasama ang mas maliit na bilog. Kung ang $$O_1N \perp AB$$ at $$O_2M \perp AB$$, kung gayon ang $$AN=AB/2$$ at $$AM=AD/2$$ (dahil ang radius na patayo sa chord ay nahahati ito sa kalahati). Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na $$AO_2M$$ at $$AO_1N$$ sumusunod na ang $$AN:AM = AO_1:AO_2$$ at, samakatuwid, $$AB:AD = R_1:R_2$$.
Sa pamamagitan ng tangent at secant theorem mayroon tayo:
$$BC^2 = AB\cdot BD = AB (AB-AD) = AB^2(1 - \dfrac(AD)(AB))$$,
ibig sabihin, $$a^2 = AB^2(1-\dfrac(R_2)(R_1))$$.
Kaya $$AB = isang \sqrt(\dfrac(R_1)(R_1-R_2))$$. $$\blacktriangle$$
Dalawang bilog ng radii $$R_1$$ at $$R_2$$ ang panlabas na tangent sa puntong $$A$$ (Larawan 16). Ang kanilang karaniwang panlabas na tangent ay dumadampi sa mas malaking bilog sa puntong $$B$$ at sa mas maliit na bilog sa puntong $$C$$. Hanapin ang radius ng bilog na nililigiran ng tatsulok na $$ABC$$.
$$\triangle$$ Ikonekta natin ang mga center na $$O_1$$ at $$O_2$$ sa mga puntos na $$B$$ at $$C$$. Sa kahulugan ng isang tangent, $$O_1B \perp BC$$ at $$O_2C \perp BC$$. Samakatuwid, ang $$O_1B \parallel O_2C$$ at $$\angle BO_1O_2 + \angle CO_2O_1 = 180^(\circ)$$. Dahil $$\angle ABC = \dfrac(1)(2) \angle BO_1A$$ at $$\angle ACB = \dfrac(1)(2) \angle CO_2A$$, pagkatapos ay $$\angle ABC + \ angle ACB = 90^(\circ)$$. Kasunod nito na ang $$\angle BAC = 90^(\circ)$$ , at samakatuwid ang radius ng bilog na nililigiran ng right triangle $$ABC$$ ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse $$BC$$.
Hanapin natin ang $$BC$$. Hayaan ang $$O_2K \perp O_1B$$, pagkatapos ay $$KO_2 = BC,\: O_1K = R_1-R_2,\: O_1O_2 = R_1+R_2$$. Gamit ang Pythagorean theorem nakita namin:
$$KO_2 = \sqrt(O_1O_2^2 - O_1K^2)= 2\sqrt(R_1R_2), \: \underline(BC = 2\sqrt(R_1R_2) )$$.
Kaya, ang radius ng bilog na nakapaligid sa tatsulok na $$ABC$$ ay katumbas ng $$\sqrt(R_1R_2)$$. Sa solusyon na $$R_1 > R_2$$, para sa $$R_1
SAGOT
$$\sqrt(R_1R_2)$$
Ang konsepto ng isang padaplis sa isang bilog
Ang isang bilog ay may tatlong posibleng relatibong posisyon na may kaugnayan sa isang tuwid na linya:
Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa sa radius, kung gayon ang tuwid na linya ay may dalawang punto ng intersection sa bilog.
Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay katumbas ng radius, kung gayon ang tuwid na linya ay may dalawang punto ng intersection sa bilog.
Kung ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas malaki kaysa sa radius, kung gayon ang tuwid na linya ay may dalawang punto ng intersection sa bilog.
Ipakilala natin ngayon ang konsepto ng isang padaplis na linya sa isang bilog.
Kahulugan 1
Ang padaplis sa isang bilog ay isang linya na may isang intersection point dito.
Ang karaniwang punto ng bilog at ang padaplis ay tinatawag na punto ng tangency (Figure 1).
Figure 1. Tangent sa isang bilog
Theorems na may kaugnayan sa konsepto ng isang padaplis sa isang bilog
Teorama 1
Tangent property theorem: isang padaplis sa isang bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng tangency.
Patunay.
Isaalang-alang ang isang bilog na may gitnang $O$. Gumuhit tayo ng tangent $a$ sa puntong $A$. $OA=r$ (Larawan 2).
Patunayan natin na ang $a\bot r$
Patunayan natin ang theorem sa pamamagitan ng kontradiksyon. Ipagpalagay na ang tangent $a$ ay hindi patayo sa radius ng bilog.
Figure 2. Illustration ng Theorem 1
Ibig sabihin, ang $OA$ ay nakahilig sa tangent. Dahil ang patayo sa tuwid na linya $a$ ay palaging mas mababa kaysa sa hilig sa parehong tuwid na linya, ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa kaysa sa radius. Tulad ng alam natin, sa kasong ito ang tuwid na linya ay may dalawang punto ng intersection sa bilog. Na sumasalungat sa kahulugan ng isang padaplis.
Samakatuwid, ang tangent ay patayo sa radius ng bilog.
Ang teorama ay napatunayan.
Teorama 2
Converse ng tangent property theorem: Kung ang isang linya na dumadaan sa dulo ng radius ng isang bilog ay patayo sa radius, kung gayon ang linyang ito ay padaplis sa bilog na ito.
Patunay.
Ayon sa mga kondisyon ng problema, mayroon kaming na ang radius ay isang patayo na iginuhit mula sa gitna ng bilog hanggang sa isang tuwid na linya. Samakatuwid, ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay katumbas ng haba ng radius. Tulad ng alam natin, sa kasong ito ang bilog ay mayroon lamang isang punto ng intersection sa linyang ito. Sa pamamagitan ng Depinisyon 1 nakita namin na ang linyang ito ay padaplis sa bilog.
Ang teorama ay napatunayan.
Teorama 3
Ang mga segment ng tangents sa isang bilog na iginuhit mula sa isang punto ay pantay at gumagawa ng mga pantay na anggulo na may isang tuwid na linya na dumadaan sa puntong ito at sa gitna ng bilog.
Patunay.
Hayaang magbigay ng isang bilog na may gitna sa puntong $O$. Dalawang magkaibang tangent ang iginuhit mula sa puntong $A$ (na nasa buong bilog). Mula sa punto ng contact $B$ at $C$, ayon sa pagkakabanggit (Larawan 3).
Patunayan natin na ang $\angle BAO=\angle CAO$ at ang $AB=AC$.
Figure 3. Ilustrasyon ng Theorem 3
Sa pamamagitan ng Theorem 1, mayroon tayong:
Samakatuwid, ang mga tatsulok na $ABO$ at $ACO$ ay mga tamang tatsulok. Dahil ang $OB=OC=r$, at ang hypotenuse na $OA$ ay karaniwan, ang mga tatsulok na ito ay pantay sa hypotenuse at binti.
Kaya nakuha namin ang $\angle BAO=\angle CAO$ at $AB=AC$.
Ang teorama ay napatunayan.
Halimbawa ng problema sa konsepto ng padaplis ng bilog
Halimbawa 1
Ibinigay ang isang bilog na may gitna sa puntong $O$ at radius $r=3\ cm$. Ang tangent $AC$ ay may point of tangency $C$. $AO=4\ cm$. Maghanap ng $AC$.
Solusyon.
Ilarawan muna natin ang lahat sa figure (Larawan 4).
Larawan 4.
Dahil ang $AC$ ay isang tangent at ang $OC$ ay isang radius, kung gayon sa pamamagitan ng Theorem 1, nakuha natin ang $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Natagpuan namin na ang tatsulok na $ACO$ ay hugis-parihaba, na nangangahulugang, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, mayroon kaming:
\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \
Secant, tangent - lahat ng ito ay maririnig ng daan-daang beses sa mga aralin sa geometry. Ngunit ang pagtatapos mula sa paaralan ay nasa likod natin, lumipas ang mga taon, at ang lahat ng kaalamang ito ay nakalimutan. Ano ang dapat mong tandaan?
Kakanyahan
Ang terminong "tangent sa isang bilog" ay malamang na pamilyar sa lahat. Ngunit hindi malamang na mabilis na mabuo ng lahat ang kahulugan nito. Samantala, ang tangent ay isang tuwid na linya na nakahiga sa parehong eroplano bilang isang bilog na nagsa-intersect dito lamang sa isang punto. Maaaring may napakalaking bilang sa kanila, ngunit lahat sila ay mayroon magkaparehong katangian, na tatalakayin sa ibaba. Tulad ng maaari mong hulaan, ang punto ng tangency ay ang lugar kung saan ang bilog at ang tuwid na linya ay nagsalubong. Sa bawat tiyak na kaso siya ay nag-iisa, ngunit kung marami sa kanila, pagkatapos ito ay magiging isang secant.
Kasaysayan ng pagtuklas at pag-aaral
Ang konsepto ng isang tangent ay lumitaw noong sinaunang panahon. Ang pagbuo ng mga tuwid na linyang ito, una sa isang bilog, at pagkatapos ay sa mga ellipse, parabola at hyperbola gamit ang isang ruler at compass, ay isinagawa hanggang sa mga paunang yugto pag-unlad ng geometry. Siyempre, hindi napanatili ng kasaysayan ang pangalan ng nakatuklas, ngunit malinaw na kahit na sa oras na iyon ang mga tao ay medyo pamilyar sa mga katangian ng isang tangent sa isang bilog.
Sa modernong panahon, muling sumiklab ang interes sa hindi pangkaraniwang bagay na ito - nagsimula ang isang bagong pag-aaral ng konseptong ito, na sinamahan ng pagtuklas ng mga bagong kurba. Kaya, ipinakilala ni Galileo ang konsepto ng isang cycloid, at sina Fermat at Descartes ay gumawa ng isang tangent dito. Kung tungkol sa mga bilog, tila wala nang natitira pang sikreto para sa mga sinaunang tao sa lugar na ito.
Ari-arian
Ang radius na iginuhit sa intersection point ay Ito
ang pangunahing, ngunit hindi ang tanging pag-aari na mayroon ang isang padaplis sa isang bilog. Isa pa mahalagang katangian kasama na ang dalawang tuwid na linya. Kaya, sa pamamagitan ng isang punto na nakahiga sa labas ng bilog, dalawang tangent ay maaaring iguguhit, at ang kanilang mga segment ay magiging pantay. May isa pang theorem sa paksang ito, ngunit ito ay bihirang itinuro bilang bahagi ng isang karaniwang kurso sa paaralan, kahit na ito ay lubos na maginhawa para sa paglutas ng ilang mga problema. Parang ganito. Mula sa isang punto na matatagpuan sa labas ng bilog, ang isang tangent at isang secant ay iguguhit dito. Ang mga segment na AB, AC at AD ay nabuo. Ang A ay ang intersection ng mga linya, B ang punto ng tangency, C at D ay mga intersection. Sa kasong ito, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay magiging wasto: ang haba ng tangent sa bilog, squared, ay magiging katumbas ng produkto ng mga segment na AC at AD.
Mayroong mahalagang kaakibat sa itaas. Para sa bawat punto sa bilog maaari kang bumuo ng isang padaplis, ngunit isa lamang. Ang patunay nito ay medyo simple: sa teoryang pagbagsak ng isang patayo mula sa radius papunta dito, nalaman namin na ang nabuong tatsulok ay hindi maaaring umiral. At ito ay nangangahulugan na ang padaplis ay ang isa lamang.
Konstruksyon
Sa iba pang mga problema sa geometry mayroong isang espesyal na kategorya, bilang isang panuntunan, hindi
minamahal ng mga mag-aaral at mag-aaral. Upang malutas ang mga problema sa kategoryang ito, kailangan mo lamang ng isang compass at isang ruler. Ito ay mga gawain sa pagtatayo. Mayroon ding mga para sa pagbuo ng isang padaplis.
Kaya, binigyan ng isang bilog at isang punto na nakahiga sa labas ng mga hangganan nito. At ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang padaplis sa pamamagitan ng mga ito. Paano ito gawin? Una sa lahat, kailangan mong gumuhit ng isang segment sa pagitan ng gitna ng bilog O at isang naibigay na punto. Pagkatapos ay gumamit ng compass upang hatiin ito sa kalahati. Upang gawin ito, kailangan mong magtakda ng radius - higit sa kalahati ng distansya sa pagitan ng gitna ng orihinal na bilog at puntong ito. Pagkatapos nito, kailangan mong bumuo ng dalawang intersecting arc. Bukod dito, ang radius ng compass ay hindi kailangang baguhin, at ang sentro ng bawat bahagi ng bilog ay ang orihinal na punto at O, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga intersection ng mga arko ay kailangang konektado, na hahatiin ang segment sa kalahati. Magtakda ng radius sa compass na katumbas ng distansyang ito. Susunod, bumuo ng isa pang bilog na may gitna sa intersection point. Parehong ang orihinal na punto at O ay nasa ibabaw nito. Sa kasong ito, magkakaroon ng dalawa pang intersection sa bilog na ibinigay sa problema. Sila ang magiging mga punto ng contact para sa unang tinukoy na punto.
Ito ay ang pagtatayo ng mga tangent sa bilog na humantong sa kapanganakan
differential calculus. Ang unang gawain sa paksang ito ay inilathala ng sikat na German mathematician na si Leibniz. Nagbigay ito ng posibilidad na makahanap ng maxima, minima at tangents anuman ang fractional at irrational na dami. Well, ngayon ito ay ginagamit para sa maraming iba pang mga kalkulasyon.
Bilang karagdagan, ang tangent sa isang bilog ay nauugnay sa geometric na kahulugan ng tangent. Dito nagmula ang pangalan nito. Isinalin mula sa Latin na tangens ay nangangahulugang "tangent". Kaya, ang konseptong ito ay nauugnay hindi lamang sa geometry at differential calculus, kundi pati na rin sa trigonometrya.
Dalawang bilog
Ang tangent ay hindi palaging nakakaapekto lamang sa isang pigura. Kung ang isang malaking bilang ng mga tuwid na linya ay maaaring iguhit sa isang bilog, kung gayon bakit hindi kabaligtaran? Pwede. Ngunit ang gawain sa kasong ito ay nagiging seryosong kumplikado, dahil ang tangent sa dalawang bilog ay maaaring hindi dumaan sa anumang mga punto, at ang kamag-anak na posisyon ng lahat ng mga figure na ito ay maaaring maging napaka.
magkaiba.
Mga uri at uri
Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa dalawang bilog at isa o higit pang mga tuwid na linya, kahit na alam na ang mga ito ay mga tangent, hindi agad malinaw kung paano matatagpuan ang lahat ng mga figure na ito na may kaugnayan sa bawat isa. Batay dito, maraming mga varieties ang nakikilala. Kaya, ang mga lupon ay maaaring may isa o dalawang karaniwang mga punto o wala silang lahat. Sa unang kaso sila ay magsalubong, at sa pangalawa sila ay hahawakan. At narito ang dalawang uri ay nakikilala. Kung ang isang bilog ay, tulad nito, na naka-embed sa pangalawa, kung gayon ang tangency ay tinatawag na panloob, kung hindi, pagkatapos ay panlabas. Maiintindihan mo ang kamag-anak na posisyon ng mga figure hindi lamang batay sa pagguhit, ngunit mayroon ding impormasyon tungkol sa kabuuan ng kanilang radii at ang distansya sa pagitan ng kanilang mga sentro. Kung ang dalawang dami na ito ay pantay, ang mga bilog ay magkadikit. Kung ang una ay mas malaki, sila ay bumalandra, at kung ito ay mas kaunti, kung gayon wala silang mga karaniwang punto.
Ganoon din sa mga tuwid na linya. Para sa alinmang dalawang lupon na walang mga karaniwang puntos, maaari mo
bumuo ng apat na tangents. Dalawa sa kanila ay magsalubong sa pagitan ng mga numero, tinatawag silang panloob. Ang isang pares ng iba ay panlabas.
Kung pinag-uusapan natin ang mga bilog na may isang karaniwang punto, kung gayon ang problema ay lubos na pinasimple. Ang punto ay kahit na ano Kaugnay na posisyon sa kasong ito magkakaroon lamang sila ng isang tangent. At dadaan ito sa punto ng kanilang intersection. Kaya hindi magiging mahirap ang pagtatayo.
Kung ang mga figure ay may dalawang punto ng intersection, kung gayon ang isang tuwid na linya ay maaaring itayo para sa kanila, padaplis sa bilog ng pareho at ng isa, ngunit panlabas lamang. Ang solusyon sa problemang ito ay katulad ng tatalakayin sa ibaba.
Pagtugon sa suliranin
Ang parehong panloob at panlabas na padaplis sa dalawang bilog ay hindi gaanong simple sa paggawa, bagaman ang problemang ito ay maaaring malutas. Ang katotohanan ay ang isang auxiliary figure ay ginagamit para dito, kaya kailangan mong makabuo ng pamamaraang ito sa iyong sarili
medyo may problema. Kaya, dalawang bilog na may magkaibang radii at mga sentrong O1 at O2 ay ibinibigay. Para sa kanila kailangan mong bumuo ng dalawang pares ng tangents.
Una sa lahat, kailangan mong bumuo ng isang auxiliary malapit sa gitna ng mas malaking bilog. Sa kasong ito, ang pagkakaiba sa pagitan ng radii ng dalawang unang figure ay dapat na maitatag sa compass. Ang mga tangent sa auxiliary na bilog ay itinayo mula sa gitna ng mas maliit na bilog. Pagkatapos nito, ang mga patayo ay iginuhit mula sa O1 at O2 hanggang sa mga linyang ito hanggang sa magsalubong ang mga ito sa orihinal na mga pigura. Tulad ng mga sumusunod mula sa pangunahing pag-aari ng tangent, ang mga kinakailangang puntos sa parehong mga bilog ay matatagpuan. Ang problema ay nalutas, sa pamamagitan ng kahit na, ang unang bahagi nito.
Upang makabuo ng mga panloob na tangent, kailangan mong malutas nang praktikal
katulad na gawain. Muli, kakailanganin mo ng isang pantulong na pigura, ngunit sa pagkakataong ito ang radius nito ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga orihinal. Ang mga tangent ay itinayo dito mula sa gitna ng isa sa mga bilog na ito. Ang karagdagang kurso ng solusyon ay mauunawaan mula sa nakaraang halimbawa.
Ang padaplis sa isang bilog o kahit dalawa o higit pa ay hindi isang mahirap na gawain. Siyempre, ang mga mathematician ay matagal nang tumigil sa paglutas ng mga naturang problema nang manu-mano at ipagkatiwala ang mga kalkulasyon sa mga espesyal na programa. Ngunit hindi mo dapat isipin na ngayon ay hindi mo na kailangang gawin ito sa iyong sarili, dahil upang maayos na bumalangkas ng isang gawain para sa isang computer na kailangan mong gawin at maunawaan ng marami. Sa kasamaang palad, may mga alalahanin na pagkatapos ng huling paglipat sa form ng pagsubok kontrol ng kaalaman, ang mga gawain sa pagtatayo ay magdudulot ng higit na kahirapan sa mga mag-aaral.
Tulad ng para sa paghahanap ng mga karaniwang tangent para sa higit pa mga bilog, hindi ito laging posible, kahit na nakahiga sila sa parehong eroplano. Ngunit sa ilang mga kaso maaari kang makahanap ng isang tuwid na linya.
Mga halimbawa mula sa buhay
Ang isang karaniwang tangent sa dalawang bilog ay madalas na nangyayari sa pagsasanay, bagaman hindi ito palaging kapansin-pansin. Conveyor, block system, pulley transmission belt, pag-igting ng thread makinang pantahi, at kahit isang chain ng bisikleta lamang - lahat ng ito ay mga halimbawa mula sa buhay. Kaya wag mong isipin yun mga problemang geometriko nananatili lamang sa teorya: sa inhinyero, pisika, konstruksiyon at marami pang ibang larangan ay nasusumpungan nila ang praktikal na aplikasyon.
Ang isang tuwid na linya na nauugnay sa isang bilog ay maaaring nasa sumusunod na tatlong posisyon:- Ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas malaki kaysa sa radius. Sa kasong ito, ang lahat ng mga punto ng linya ay nasa labas ng bilog.
- Ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa kaysa sa radius. Sa kasong ito, ang tuwid na linya ay may mga puntos na nakahiga sa loob ng bilog at dahil ang tuwid na linya ay walang katapusan sa parehong direksyon, ito ay intersected ng bilog sa 2 puntos.
- Ang distansya mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay katumbas ng radius. Ang tuwid na linya ay padaplis.
Ang isang tuwid na linya na may isang punto lamang na magkakatulad sa isang bilog ay tinatawag padaplis sa bilog.
Ang karaniwang punto ay tinatawag sa kasong ito punto ng pakikipag-ugnayan.
Ang posibilidad ng pagkakaroon ng isang tangent, at, bukod dito, iginuhit sa anumang punto ng bilog bilang isang punto ng tangency, ay pinatunayan ng sumusunod na teorama.
Teorama. Kung ang isang linya ay patayo sa radius sa dulo nito na nakahiga sa bilog, kung gayon ang linyang ito ay isang tangent.
Hayaang O (fig) ang sentro ng ilang bilog at OA ang ilan sa radius nito. Sa pagtatapos nito A, gumuhit tayo ng MN ^ OA.
Kinakailangang patunayan na ang linyang MN ay tangent, i.e. na ang linyang ito ay mayroon lamang isang karaniwang punto A na may bilog.
Ipagpalagay natin ang kabaligtaran: hayaan ang MN na magkaroon ng isa pang karaniwang punto sa bilog, halimbawa B.
Pagkatapos ang tuwid na linyang OB ay magiging isang radius at samakatuwid ay katumbas ng OA.
Ngunit hindi ito maaaring mangyari, dahil kung ang OA ay patayo, kung gayon ang OB ay dapat na hilig sa MN, at ang hilig ay mas malaki kaysa sa patayo.
Converse theorem. Kung ang isang linya ay padaplis sa isang bilog, kung gayon ang radius na iginuhit sa punto ng tangency ay patayo dito.
Hayaang ang MN ay ang padaplis sa bilog, A ang punto ng tangency, at O ang sentro ng bilog.
Kinakailangang patunayan na OA^MN.
Ipagpalagay natin ang kabaligtaran, i.e. Ipagpalagay natin na ang perpendikular na bumaba mula O hanggang MN ay hindi magiging OA, ngunit sa ibang linya, halimbawa, OB.
Kunin natin ang BC = AB at isagawa ang OS.
Pagkatapos ay magiging hilig ang OA at OS, pantay na malayo sa perpendicular OB, at samakatuwid OS = OA.
Ito ay sumusunod mula dito na ang bilog, na isinasaalang-alang ang aming palagay, ay magkakaroon ng dalawang karaniwang mga punto na may linyang MN: A at C, i.e. Ang MN ay hindi magiging isang tangent, ngunit isang secant, na sumasalungat sa kondisyon.
Bunga. Sa pamamagitan ng anumang ibinigay na punto sa isang bilog ang isa ay maaaring gumuhit ng isang tangent sa bilog na ito, at isa lamang, dahil sa pamamagitan ng puntong ito ay maaaring gumuhit ng isang patayo, at isa lamang, sa radius na iginuhit dito.
Teorama. Ang isang padaplis na parallel sa isang chord ay naghahati sa arko na na-subtend ng chord sa kalahati sa punto ng contact.
Hayaang hawakan ng tuwid na linya AB (fig.) ang bilog sa punto M at maging parallel sa chord CD.
Kailangan nating patunayan na ÈCM = ÈMD.
Ang pagguhit ng diameter ME sa pamamagitan ng punto ng tangency, nakuha namin ang: EM ^ AB, at samakatuwid ay EM ^ CB.
Samakatuwid CM=MD.
Gawain. Sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto gumuhit ng isang tangent sa isang ibinigay na bilog.
Kung ang isang ibinigay na punto ay nasa isang bilog, pagkatapos ay gumuhit ng isang radius sa pamamagitan nito at isang patayo na tuwid na linya sa dulo ng radius. Ang linyang ito ang magiging ninanais na padaplis.
Isaalang-alang natin ang kaso kapag ang punto ay ibinigay sa labas ng bilog.
Hayaang kailanganin (Fig.) na gumuhit ng tangent sa isang bilog na may gitnang O hanggang sa punto A.
Upang gawin ito, mula sa punto A, bilang sentro, inilalarawan namin ang isang arko na may radius AO, at mula sa punto O, bilang sentro, i-intersect namin ang arko na ito sa mga punto B at C na may pagbubukas ng compass na katumbas ng diameter ng ibinigay na bilog. .
Pagkatapos ay iguguhit ang mga chord na OB at OS, ikinonekta namin ang punto A na may mga puntos na D at E, kung saan ang mga chord na ito ay bumalandra sa ibinigay na bilog.
Ang mga linyang AD at AE ay padaplis sa bilog O.
Sa katunayan, mula sa pagtatayo ay malinaw na ang mga tubo na AOB at AOC ay isosceles (AO = AB = AC) na may mga base OB at OS na katumbas ng diameter ng bilog O.
Dahil ang OD at OE ay radii, kung gayon ang D ay ang gitna ng OB, at ang E ay ang gitna ng OS, na nangangahulugang ang AD at AE ay mga median na iginuhit sa mga base ng isosceles pipe, at samakatuwid ay patayo sa mga base na ito. Kung ang mga linyang DA at EA ay patayo sa radii OD at OE, kung gayon ang mga ito ay tangent.
Bunga. Ang dalawang tangent na iginuhit mula sa isang punto patungo sa isang bilog ay pantay at bumubuo ng pantay na mga anggulo na may tuwid na linya na nagkokonekta sa puntong ito sa gitna.
Kaya AD=AE at ÐOAD = ÐOAE (Fig.), dahil ang parihabang tr-ki AOD at AOE, na may isang karaniwang hypotenuse AO at magkapantay na mga binti OD at OE (bilang radii), ay pantay.
Tandaan na dito ang salitang "tangent" ay nangangahulugang ang aktwal na "tangent segment" mula sa isang partikular na punto hanggang sa punto ng contact.
Gawain. Gumuhit ng tangent sa isang binigay na bilog O parallel sa isang tuwid na linya AB (Fig.).
Ibinababa namin ang isang patayo na OS sa AB mula sa gitna O at sa pamamagitan ng punto D, kung saan ang perpendikular na ito ay nag-intersect sa bilog, gumuhit ng EF || AB.
Ang tangent na hinahanap natin ay EF.
Sa katunayan, mula noong OS ^ AB at EF || AB, pagkatapos ay EF ^ OD, at ang linya na patayo sa radius sa dulo nito na nakahiga sa bilog ay isang padaplis.
Gawain. Gumuhit ng karaniwang tangent sa dalawang bilog na O at O 1 (Fig.).
Pagsusuri. Ipagpalagay natin na ang problema ay nalutas na.
Hayaang AB ang karaniwang padaplis, A at B ang mga punto ng tangency.
Malinaw, kung mahahanap natin ang isa sa mga puntong ito, halimbawa, A, kung gayon madali nating mahahanap ang isa pa.
Iguhit natin ang radii OA at O 1 B. Ang mga radii na ito, na patayo sa karaniwang tangent, ay parallel sa isa't isa.
Samakatuwid, kung mula sa O 1 ay gumuhit tayo ng O 1 C || BA, kung gayon ang pipeline na OCO 1 ay magiging parihaba sa vertex C.
Bilang resulta, kung ilalarawan natin ang isang bilog mula sa O bilang sentro na may radius OS, hahawakan nito ang tuwid na linya O 1 C sa punto C.
Ang radius ng auxiliary circle na ito ay kilala: ito ay katumbas ng OA – CA = OA - O 1 B, i.e. ito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng radii ng mga bilog na ito.
Konstruksyon. Mula sa gitna O inilalarawan namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng pagkakaiba ng mga radii na ito.
Mula sa O 1 gumuhit kami ng tangent O 1 C sa bilog na ito (sa paraang ipinahiwatig sa nakaraang problema).
Sa pamamagitan ng tangent point C ay iginuhit natin ang radius OS at ipagpatuloy ito hanggang sa matugunan nito ang ibinigay na bilog sa punto A. Sa wakas, mula sa A ay gumuhit tayo ng AB parallel sa CO 1.
Sa eksaktong parehong paraan maaari tayong bumuo ng isa pang karaniwang tangent A 1 B 1 (Fig.). Ang mga direktang linyang AB at A 1 B 1 ay tinatawag panlabas karaniwang tangents.
Maaari kang gumastos ng dalawa pa panloob tangents tulad ng sumusunod:
Pagsusuri. Ipagpalagay natin na ang problema ay nalutas (Fig.). Hayaan ang AB ang nais na padaplis.
Iguhit natin ang radii OA at O 1 B sa mga tangent na punto A at B. Dahil ang mga radii na ito ay parehong patayo sa karaniwang tangent, sila ay parallel sa isa't isa.
Samakatuwid, kung mula sa O 1 ay gumuhit tayo ng O 1 C || BA at ipagpatuloy ang OA sa point C, pagkatapos ay magiging patayo ang OS sa O 1 C.
Bilang resulta, ang bilog na inilalarawan ng radius OS mula sa punto O bilang sentro ay hahawakan ang tuwid na linya O 1 C sa punto C.
Ang radius ng auxiliary circle na ito ay kilala: ito ay katumbas ng OA+AC = OA+O 1 B, i.e. ito ay katumbas ng kabuuan ng radii ng mga ibinigay na bilog.
Konstruksyon. Mula sa O bilang sentro, inilalarawan namin ang isang bilog na may radius na katumbas ng kabuuan ng mga radii na ito.
Mula sa O 1 gumuhit kami ng tangent O 1 C sa bilog na ito.
Ikinonekta namin ang punto ng contact C sa O.
Sa wakas, sa pamamagitan ng punto A, kung saan ang OS ay nag-intersect sa ibinigay na bilog, gumuhit kami ng AB = O 1 C.
Sa katulad na paraan maaari tayong bumuo ng isa pang panloob na tangent A 1 B 1.
Pangkalahatang kahulugan ng tangent
Hayaang iguguhit ang isang tangent AT at ilang secant AM sa punto A sa isang bilog na may sentro (Fig.).
Iikot natin ang secant na ito sa paligid ng point A upang ang ibang intersection point B ay gumagalaw nang palapit at palapit sa A.
Pagkatapos ang perpendikular na OD, na ibinaba mula sa gitna hanggang sa secant, ay lalapit sa radius OA nang higit pa, at ang anggulo ng AOD ay maaaring maging mas mababa kaysa sa anumang maliit na anggulo.
Ang anggulong MAT na nabuo ng isang secant at isang tangent ay katumbas ng anggulo AOD (dahil sa perpendicularity ng kanilang mga panig).
Samakatuwid, habang ang punto B ay lumalapit sa A nang walang katiyakan, ang anggulo ng MAT ay maaari ding maging arbitraryong maliit.
Ito ay ipinahayag sa ibang salita tulad nito:
ang tangent ay ang naglilimitang posisyon kung saan ang isang secant na iginuhit sa isang punto ng tangency ay may posibilidad kapag ang pangalawang punto ng intersection ay lumalapit sa punto ng tangency nang walang katiyakan.
Ang ari-arian na ito ay kinuha bilang ang kahulugan ng isang tangent kapag pinag-uusapan ang anumang kurba.
Kaya, ang padaplis sa curve AB (Fig.) ay ang limitasyong posisyon MT kung saan ang secant MN ay may kaugaliang kapag ang intersection point P ay lumalapit sa M nang walang limitasyon.
Tandaan na ang tangent na tinukoy sa paraang ito ay maaaring magkaroon ng higit sa isang karaniwang punto na may curve (tulad ng makikita sa Fig.).