Teorama.

Mayroong walang katapusang bilang ng mga prime number.

Patunay.

Ipagpalagay natin na hindi ito ang kaso. Ibig sabihin, ipagpalagay na mayroon lamang n mga prime number, at ang mga prime number na ito ay p 1, p 2, ..., p n. Ipakita natin na palagi tayong makakahanap ng prime number na iba sa mga ipinahiwatig.

Isaalang-alang ang bilang na p katumbas ng p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Malinaw na ang numerong ito ay iba sa bawat isa sa mga pangunahing numero p 1, p 2, ..., p n. Kung ang bilang p ay prime, kung gayon ang teorama ay napatunayan. Kung ang numerong ito ay pinagsama-sama, kung gayon sa pamamagitan ng naunang teorama ay mayroong pangunahing divisor ng numerong ito (tinutukoy namin itong p n+1). Ipakita natin na ang divisor na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga numerong p 1, p 2, ..., p n.

Kung hindi ito gayon, kung gayon, ayon sa mga katangian ng divisibility, ang produkto p 1 ·p 2 ·…·p n ay mahahati sa p n+1. Ngunit ang bilang na p ay nahahati din ng p n+1, katumbas ng kabuuan ng p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Kasunod nito, dapat hatiin ng p n+1 ang pangalawang termino ng kabuuan na ito, na katumbas ng isa, ngunit imposible ito.

Kaya, napatunayan na ang isang bagong prime number ay palaging makikita na hindi kasama sa anumang bilang ng mga predetermined prime number. Samakatuwid, mayroong walang katapusang maraming prime number.

Kaya, dahil sa katotohanan na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga prime number, kapag nag-compile ng mga talahanayan ng mga prime number, palagi mong nililimitahan ang iyong sarili mula sa itaas hanggang sa ilang numero, karaniwang 100, 1,000, 10,000, atbp.

Salaan ng Eratosthenes

Ngayon ay tatalakayin natin ang mga paraan upang lumikha ng mga talahanayan ng mga pangunahing numero. Ipagpalagay na kailangan nating gumawa ng talahanayan ng mga prime number hanggang 100.

Ang pinaka-halatang paraan para sa paglutas ng problemang ito ay ang sunud-sunod na suriin ang mga positibong integer, simula sa 2 at nagtatapos sa 100, para sa pagkakaroon ng positibong divisor na mas malaki kaysa sa 1 at mas mababa sa bilang na sinusuri (mula sa mga katangian ng divisibility na alam natin na ang absolute value ng divisor ay hindi lalampas sa absolute value ng dividend, non-zero). Kung ang naturang divisor ay hindi natagpuan, ang numerong sinusuri ay prime, at ito ay ipinasok sa prime numbers table. Kung ang naturang divisor ay matatagpuan, kung gayon ang numerong sinusuri ay composite; HINDI ito nakalagay sa talahanayan ng mga prime number. Pagkatapos nito, mayroong isang paglipat sa susunod na numero, na katulad na sinuri para sa pagkakaroon ng isang divisor.

Ilarawan natin ang mga unang hakbang.

Nagsisimula tayo sa numero 2. Ang numero 2 ay walang positibong divisors maliban sa 1 at 2. Samakatuwid, ito ay simple, samakatuwid, ipinasok namin ito sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Dito dapat sabihin na 2 ang pinakamaliit na prime number. Lumipat tayo sa numero 3. Ang posibleng positive divisor nito maliban sa 1 at 3 ay ang numero 2. Ngunit ang 3 ay hindi nahahati sa 2, samakatuwid, ang 3 ay isang prime number, at kailangan din itong isama sa talahanayan ng mga prime number. Lumipat tayo sa numero 4. Ang mga positive divisors nito maliban sa 1 at 4 ay maaaring ang mga numero 2 at 3, suriin natin ang mga ito. Ang numero 4 ay nahahati sa 2, samakatuwid, ang 4 ay isang pinagsama-samang numero at hindi kailangang isama sa talahanayan ng mga prime number. Pakitandaan na ang 4 ay ang pinakamaliit na composite number. Lumipat tayo sa numero 5. Sinusuri namin kung hindi bababa sa isa sa mga numero 2, 3, 4 ang divisor nito. Dahil ang 5 ay hindi nahahati sa 2, 3, o 4, kung gayon ito ay prime, at dapat itong isulat sa talahanayan ng mga prime number. Pagkatapos ay mayroong isang paglipat sa mga numero 6, 7, at iba pa hanggang sa 100.

Ang diskarte na ito sa pag-compile ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero ay malayo sa perpekto. One way or another, may karapatan siyang umiral. Tandaan na sa pamamaraang ito ng pagbuo ng isang talahanayan ng mga integer, maaari mong gamitin ang pamantayan ng divisibility, na bahagyang magpapabilis sa proseso ng paghahanap ng mga divisors.

Mayroong isang mas maginhawang paraan upang lumikha ng isang talahanayan ng mga pangunahing numero, na tinatawag na. Ang salitang "sieve" na naroroon sa pangalan ay hindi sinasadya, dahil ang mga aksyon ng pamamaraang ito ay tumutulong, tulad ng, upang "magsala" ng mga buong numero at malalaking yunit sa pamamagitan ng salaan ng Eratosthenes upang paghiwalayin ang mga simple mula sa mga pinagsama-sama.

Ipakita natin ang pagkilos ni Eratosthenes sa pag-compile ng talahanayan ng mga prime number hanggang 50.

Una, isulat ang mga numero 2, 3, 4, ..., 50 sa pagkakasunud-sunod.

Ang unang numerong nakasulat, 2, ay prime. Ngayon, mula sa numero 2, kami ay sunud-sunod na lumipat sa kanan sa pamamagitan ng dalawang numero at i-cross out ang mga numerong ito hanggang sa maabot namin ang dulo ng talahanayan ng mga numero na pinagsama-sama. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng dalawa.

Ang unang numero na kasunod ng 2 na hindi na-cross out ay 3. Ang numerong ito ay prime. Ngayon, mula sa numero 3, sunud-sunod kaming lumipat sa kanan sa pamamagitan ng tatlong numero (isinasaalang-alang ang na-cross out na mga numero) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng tatlo.

Ang unang numero kasunod ng 3 na hindi natatanggal ay 5. Ang numerong ito ay prime. Ngayon mula sa numero 5 patuloy kaming lumilipat sa kanan sa pamamagitan ng 5 numero (isinasaalang-alang din namin ang mga numero na na-cross out nang mas maaga) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng lima.

Susunod, tinatanggal namin ang mga numero na multiple ng 7, pagkatapos ay multiple ng 11, at iba pa. Ang proseso ay nagtatapos kapag wala nang mga numero upang i-cross off. Nasa ibaba ang nakumpletong talahanayan ng mga prime number hanggang 50, na nakuha gamit ang salaan ng Eratosthenes. Ang lahat ng uncrossed na numero ay prime, at lahat ng na-cross out na numero ay composite.

Bumuo din tayo at patunayan ang isang theorem na magpapabilis sa proseso ng pag-compile ng isang talahanayan ng mga prime number gamit ang salaan ng Eratosthenes.

Teorama.

Ang pinakamaliit na positive divisor ng isang composite number a na iba sa isa ay hindi lalampas sa , kung saan ay mula sa a .

Patunay.

Tukuyin natin sa pamamagitan ng letrang b ang pinakamaliit na divisor ng isang composite number a na iba sa isa (ang bilang b ay prime, gaya ng sumusunod mula sa theorem na napatunayan sa pinakasimula ng nakaraang talata). Pagkatapos ay mayroong isang integer q na ang a=b·q (dito ang q ay isang positibong integer, na sumusunod mula sa mga patakaran ng pagpaparami ng mga integer), at (para sa b>q ang kundisyon na ang b ay ang pinakamaliit na divisor ng a ay nilabag. , dahil ang q ay isa ring divisor ng bilang a dahil sa pagkakapantay-pantay a=q·b ). Sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibo at isang integer na mas malaki kaysa sa isa (pinahihintulutan kaming gawin ito), nakukuha namin ang , mula sa kung saan at .

Ano ang ibinibigay sa atin ng napatunayang teorama tungkol sa salaan ng Eratosthenes?

Una, ang pagtawid sa mga composite na numero na mga multiple ng isang prime number b ay dapat magsimula sa isang numero na katumbas ng (ito ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay). Halimbawa, ang pagtawid sa mga numero na multiple ng dalawa ay dapat magsimula sa numero 4, multiple ng tatlo na may numero 9, multiple ng lima na may numerong 25, at iba pa.

Pangalawa, ang pag-compile ng table ng mga prime number hanggang sa number n gamit ang sieve ng Eratosthenes ay maituturing na kumpleto kapag ang lahat ng composite na numero na multiple ng prime numbers ay hindi hihigit sa . Sa aming halimbawa, n=50 (dahil gumagawa kami ng talahanayan ng mga prime number hanggang 50) at, samakatuwid, ang salaan ng Eratosthenes ay dapat alisin ang lahat ng composite na numero na multiple ng prime number 2, 3, 5 at 7 na ginagawa. hindi lalampas sa arithmetic square root na 50. Ibig sabihin, hindi na natin kailangang hanapin at i-cross out ang mga numero na multiple ng prime number 11, 13, 17, 19, 23 at iba pa hanggang 47, dahil ma-e-cross out na ang mga ito bilang multiple ng mas maliliit na prime number 2 , 3, 5 at 7 .

Ang numerong ito ba ay prime o composite?

Ang ilang mga gawain ay nangangailangan ng pag-alam kung ang isang ibinigay na numero ay prime o composite. Sa pangkalahatan, ang gawaing ito ay malayo sa simple, lalo na para sa mga numero na ang pagsulat ay binubuo ng isang makabuluhang bilang ng mga character. Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong maghanap ng ilang partikular na paraan upang malutas ito. Gayunpaman, susubukan naming magbigay ng direksyon sa tren ng pag-iisip para sa mga simpleng kaso.

Siyempre, maaari mong subukang gumamit ng mga pagsusuri sa divisibility upang patunayan na ang isang naibigay na numero ay pinagsama-sama. Kung, halimbawa, ang ilang pagsubok sa divisibility ay nagpapakita na ang isang naibigay na numero ay nahahati ng ilang positibong integer na mas malaki sa isa, kung gayon ang orihinal na numero ay pinagsama-sama.

Halimbawa.

Patunayan na ang 898,989,898,989,898,989 ay isang composite number.

Solusyon.

Ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay 9·8+9·9=9·17. Dahil ang bilang na katumbas ng 9·17 ay nahahati sa 9, sa pamamagitan ng divisibility ng 9 ay masasabi nating ang orihinal na numero ay nahahati din ng 9. Samakatuwid, ito ay pinagsama-sama.

Ang isang makabuluhang disbentaha ng diskarteng ito ay hindi pinapayagan ng pamantayan ng divisibility ang isa na patunayan ang kalakasan ng isang numero. Samakatuwid, kapag sinusubukan ang isang numero upang makita kung ito ay prime o composite, kailangan mong magpatuloy sa ibang paraan.

Ang pinaka-lohikal na diskarte ay subukan ang lahat ng posibleng divisors ng isang naibigay na numero. Kung wala sa mga posibleng divisor ang tunay na divisor ng isang naibigay na numero, ang numerong ito ay magiging prime, kung hindi, ito ay magiging composite. Mula sa mga theorems na pinatunayan sa nakaraang talata, ito ay sumusunod na ang mga divisors ng isang naibigay na numero ay dapat na hanapin sa mga pangunahing numero na hindi hihigit sa . Kaya, ang isang naibigay na numero a ay maaaring sunud-sunod na hatiin ng mga prime number (na maginhawang kinuha mula sa talahanayan ng mga prime number), sinusubukang hanapin ang divisor ng numero a. Kung may nakitang divisor, kung gayon ang numero a ay pinagsama-sama. Kung kabilang sa mga prime number na hindi lalampas sa , walang divisor ng number a, kung gayon ang number a ay prime.

Halimbawa.

Numero 11 723 simple o tambalan?

Solusyon.

Alamin natin hanggang sa kung anong prime number ang maaaring maging divisors ng number 11,723. Upang gawin ito, suriin natin.

Ito ay medyo halata na , mula noong 200 2 =40,000, at 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью paghahambing ng mga numero). Kaya, ang posibleng mga pangunahing kadahilanan ng 11,723 ay mas mababa sa 200. Pinapadali na nito ang ating gawain. Kung hindi natin alam ito, kailangan nating dumaan sa lahat ng prime number hindi hanggang 200, ngunit hanggang sa numerong 11,723.

Kung ninanais, maaari mong suriin nang mas tumpak. Dahil 108 2 =11,664, at 109 2 =11,881, pagkatapos ay 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Kaya, alinman sa mga prime number na mas mababa sa 109 ay potensyal na isang prime factor ng ibinigay na numero na 11,723.

Ngayon ay sunud-sunod nating hahatiin ang numerong 11,723 sa mga pangunahing numero 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 7 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Kung ang bilang na 11,723 ay hinati sa isa sa mga nakasulat na prime number, ito ay magiging composite. Kung hindi ito nahahati sa alinman sa mga nakasulat na prime number, kung gayon ang orihinal na numero ay prime.

Hindi namin ilalarawan ang buong monotonous at monotonous na proseso ng paghahati. Sabihin na natin kaagad na 11,723

Prime number ay isang natural (positibong integer) na numero na nahahati nang walang nalalabi sa pamamagitan lamang ng dalawang natural na numero: sa pamamagitan at sa sarili nito. Sa madaling salita, ang prime number ay may eksaktong dalawang natural na divisors: at ang numero mismo.

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang hanay ng lahat ng mga divisors ng isang prime number ay dalawang-elemento, i.e. kumakatawan sa isang set.

Ang hanay ng lahat ng mga prime number ay tinutukoy ng simbolo. Kaya, dahil sa kahulugan ng hanay ng mga pangunahing numero, maaari nating isulat ang: .

Ang pagkakasunud-sunod ng mga pangunahing numero ay ganito:

Pangunahing Teorama ng Arithmetic

Pangunahing Teorama ng Arithmetic nagsasaad na ang bawat natural na bilang na higit sa isa ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number, at sa isang natatanging paraan, hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga salik. Kaya, ang mga pangunahing numero ay ang elementarya na "mga bloke ng gusali" ng hanay ng mga natural na numero.

Natural na pagpapalawak ng numero title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonikal:

saan ang isang prime number, at . Halimbawa, ganito ang hitsura ng canonical expansion ng isang natural na numero: .

Ang kumakatawan sa isang natural na bilang bilang isang produkto ng mga primes ay tinatawag din factorization ng isang numero.

Mga Katangian ng Prime Numbers

Salaan ng Eratosthenes

Ang isa sa mga pinakatanyag na algorithm para sa paghahanap at pagkilala sa mga prime number ay salaan ng Eratosthenes. Kaya ang algorithm na ito ay ipinangalan sa Greek mathematician na si Eratosthenes ng Cyrene, na itinuturing na may-akda ng algorithm.

Upang mahanap ang lahat ng prime number na mas mababa sa isang naibigay na numero, sa pagsunod sa paraan ng Eratosthenes, kailangan mong sundin ang mga hakbang na ito:

Hakbang 1. Isulat ang lahat ng natural na numero mula dalawa hanggang , i.e. .
Hakbang 2. Italaga sa variable ang value , iyon ay, ang value na katumbas ng pinakamaliit na prime number.
Hakbang 3. I-cross out sa listahan ang lahat ng mga numero mula sa na mga multiple ng , iyon ay, ang mga numero: .
Hakbang 4. Hanapin ang unang uncrossed na numero sa listahang mas malaki sa , at italaga ang halaga ng numerong ito sa isang variable.
Hakbang 5. Ulitin ang hakbang 3 at 4 hanggang sa maabot ang numero.

Ang proseso ng paglalapat ng algorithm ay magiging ganito:

Ang lahat ng natitirang uncrossed na numero sa listahan sa dulo ng proseso ng paglalapat ng algorithm ay ang set ng mga prime number mula hanggang .

Goldbach haka-haka

Pabalat ng aklat na "Uncle Petros and the Goldbach Hypothesis"

Sa kabila ng katotohanan na ang mga pangunahing numero ay pinag-aralan ng mga mathematician sa loob ng mahabang panahon, maraming mga kaugnay na problema ang nananatiling hindi nalutas ngayon. Ang isa sa pinakatanyag na hindi nalutas na mga problema ay Ang hypothesis ni Goldbach, na binabalangkas tulad ng sumusunod:

• Totoo ba na ang bawat kahit na numerong higit sa dalawa ay maaaring irepresenta bilang kabuuan ng dalawang pangunahing numero (binary hypothesis ng Goldbach)?
• Totoo ba na ang bawat kakaibang numero na higit sa 5 ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng tatlong prime number (ang ternary hypothesis ni Goldbach)?

Dapat sabihin na ang ternary Goldbach hypothesis ay isang espesyal na kaso ng binary Goldbach hypothesis, o gaya ng sinasabi ng mga mathematician, ang ternary Goldbach hypothesis ay mas mahina kaysa sa binary Goldbach hypothesis.

Ang haka-haka ni Goldbach ay naging malawak na kilala sa labas ng mathematical community noong 2000 salamat sa isang promotional marketing stunt ng mga publishing company na Bloomsbury USA (USA) at Faber and Faber (UK). Ang mga publishing house na ito, na inilabas ang aklat na "Uncle Petros and Goldbach's Conjecture," ay nangako na magbabayad ng premyong 1 milyong US dollars sa sinumang magpapatunay sa hypothesis ni Goldbach sa loob ng 2 taon mula sa petsa ng pagkakalathala ng aklat. Minsan ang nabanggit na premyo mula sa mga publisher ay nalilito sa mga premyo para sa paglutas ng Millennium Prize Problems. Huwag magkamali, ang hypothesis ni Goldbach ay hindi inuri ng Clay Institute bilang isang "millennium challenge," bagama't ito ay malapit na nauugnay sa Riemann hypothesis- isa sa mga "millennium challenges".

Ang aklat na "Prime numbers. Mahabang daan patungo sa kawalang-hanggan"

Pabalat ng aklat na “The World of Mathematics. Pangunahing numero. Mahabang daan patungo sa kawalang-hanggan"

Bukod pa rito, inirerekumenda ko ang pagbabasa ng isang kaakit-akit na sikat na aklat sa agham, ang anotasyon kung saan nagsasabing: “Ang paghahanap ng mga prime number ay isa sa mga pinaka-kabalintunaang problema sa matematika. Sinusubukan ng mga siyentipiko na lutasin ito sa loob ng ilang libong taon, ngunit, lumalaki sa mga bagong bersyon at hypotheses, ang misteryong ito ay nananatiling hindi nalutas. Ang hitsura ng mga prime number ay hindi napapailalim sa anumang sistema: kusang lumilitaw ang mga ito sa serye ng mga natural na numero, hindi pinapansin ang lahat ng pagtatangka ng mga mathematician na tukuyin ang mga pattern sa kanilang pagkakasunud-sunod. Ang aklat na ito ay magbibigay-daan sa mambabasa na masubaybayan ang ebolusyon ng mga siyentipikong ideya mula sa sinaunang panahon hanggang sa kasalukuyan at ipakilala ang pinakakawili-wiling mga teorya ng paghahanap ng mga prime number."

Bukod pa rito, babanggitin ko ang simula ng ikalawang kabanata ng aklat na ito: “Ang mga pangunahing numero ay isa sa mga mahahalagang paksang magbabalik sa atin sa mismong pinagmulan ng matematika, at pagkatapos, sa isang landas ng pagtaas ng pagiging kumplikado, hahantong tayo sa unahan. ng modernong agham. Kaya, magiging lubhang kapaki-pakinabang ang pagsubaybay sa kaakit-akit at masalimuot na kasaysayan ng teorya ng prime number: eksakto kung paano ito nabuo, eksakto kung paano nakolekta ang mga katotohanan at katotohanan na ngayon ay karaniwang tinatanggap. Sa kabanatang ito makikita natin kung paano maingat na pinag-aralan ng mga henerasyon ng mga mathematician ang mga natural na numero sa paghahanap ng panuntunang hinulaang ang paglitaw ng mga prime number - isang panuntunan na lalong naging mailap habang umuusad ang paghahanap. Titingnan din natin nang detalyado ang konteksto ng kasaysayan: ang mga kondisyon kung saan nagtrabaho ang mga mathematician at ang lawak kung saan ang kanilang trabaho ay may kinalaman sa mystical at semi-religious na mga kasanayan, na medyo naiiba sa mga pamamaraang pang-agham na ginagamit sa ating panahon. Gayunpaman, dahan-dahan at may kahirapan, ang lupa ay inihanda para sa mga bagong pananaw na nagbigay inspirasyon kina Fermat at Euler noong ika-17 at ika-18 na siglo.

Magkaiba ang mga numero: natural, rational, rational, integer at fractional, positive at negative, complex at prime, odd at even, real, atbp. Mula sa artikulong ito malalaman mo kung ano ang mga prime number.

Anong mga numero ang tinatawag na "simple" sa Ingles?

Kadalasan, hindi alam ng mga mag-aaral kung paano sasagutin ang isa sa mga pinakasimpleng tanong sa matematika sa unang tingin, tungkol sa kung ano ang prime number. Madalas nilang nalilito ang mga prime number sa mga natural na numero (iyon ay, ang mga numerong ginagamit ng mga tao kapag nagbibilang ng mga bagay, habang sa ilang mga pinagmumulan ay nagsisimula sila sa zero, at sa iba sa isa). Ngunit ang mga ito ay ganap na dalawang magkaibang konsepto. Ang mga pangunahing numero ay mga natural na numero, iyon ay, mga integer at positibong numero na mas malaki sa isa at mayroon lamang 2 natural na divisors. Bukod dito, ang isa sa mga divisors na ito ay ang ibinigay na numero, at ang pangalawa ay isa. Halimbawa, ang tatlo ay isang prime number dahil hindi ito mahahati nang walang nalalabi sa anumang numero maliban sa sarili nito at isa.

Mga pinagsama-samang numero

Ang kabaligtaran ng prime numbers ay composite numbers. Ang mga ito ay natural din, mas malaki din sa isa, ngunit walang dalawa, ngunit mas malaking bilang ng mga divisors. Kaya, halimbawa, ang mga numero 4, 6, 8, 9, atbp. ay natural, composite, ngunit hindi prime number. Tulad ng nakikita mo, ang mga ito ay halos kahit na mga numero, ngunit hindi lahat. Ngunit ang "dalawa" ay isang even na numero at ang "unang numero" sa isang serye ng mga prime number.

Kasunod

Upang makabuo ng isang serye ng mga pangunahing numero, kinakailangan upang pumili mula sa lahat ng mga natural na numero, na isinasaalang-alang ang kanilang kahulugan, iyon ay, kailangan mong kumilos sa pamamagitan ng pagkakasalungatan. Kinakailangang suriin ang bawat isa sa mga positibong natural na numero upang makita kung mayroon itong higit sa dalawang divisors. Subukan nating bumuo ng isang serye (sequence) na binubuo ng mga prime number. Ang listahan ay nagsisimula sa dalawa, na sinusundan ng tatlo, dahil ito ay nahahati lamang sa sarili at isa. Isaalang-alang ang numero apat. Mayroon ba itong divisors maliban sa apat at isa? Oo, ang numerong iyon ay 2. Kaya ang apat ay hindi isang prime number. Ang lima ay prime din (hindi ito mahahati sa anumang iba pang numero, maliban sa 1 at 5), ngunit ang anim ay nahahati. At sa pangkalahatan, kung susundin mo ang lahat ng kahit na mga numero, mapapansin mo na maliban sa "dalawa", wala sa mga ito ang prime. Mula dito napagpasyahan namin na ang kahit na mga numero, maliban sa dalawa, ay hindi prime. Isa pang pagtuklas: ang lahat ng mga numero na nahahati sa tatlo, maliban sa tatlo mismo, kahit na o kakaiba, ay hindi rin prime (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, atbp.). Ang parehong naaangkop sa mga numero na nahahati sa lima at pito. Ang lahat ng kanilang karamihan ay hindi rin simple. I-summarize natin. Kaya, ang mga simpleng single-digit na numero ay kinabibilangan ng lahat ng mga kakaibang numero maliban sa isa at siyam, at kahit na ang "dalawa" ay kahit na mga numero. Ang sampu mismo (10, 20,... 40, atbp.) ay hindi simple. Maaaring matukoy ang dalawang-digit, tatlong-digit, atbp. na mga prime na numero batay sa mga prinsipyo sa itaas: kung wala silang mga divisors maliban sa kanilang sarili at isa.

Mga teorya tungkol sa mga katangian ng mga prime number

Mayroong isang agham na nag-aaral ng mga katangian ng mga integer, kabilang ang mga prime number. Ito ay isang sangay ng matematika na tinatawag na mas mataas. Bilang karagdagan sa mga katangian ng mga integer, tinatalakay din niya ang mga algebraic at transendental na numero, pati na rin ang mga function ng iba't ibang pinagmulan na nauugnay sa aritmetika ng mga numerong ito. Sa mga pag-aaral na ito, bilang karagdagan sa elementarya at algebraic na pamamaraan, ginagamit din ang analytical at geometric na mga pamamaraan. Sa partikular, ang "Number Theory" ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga prime numbers.

Ang mga pangunahing numero ay ang "mga bloke ng gusali" ng mga natural na numero

Sa arithmetic mayroong theorem na tinatawag na fundamental theorem. Ayon dito, ang anumang natural na numero, maliban sa isa, ay maaaring katawanin bilang isang produkto, ang mga kadahilanan kung saan ay ang mga pangunahing numero, at ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay natatangi, na nangangahulugan na ang paraan ng representasyon ay natatangi. Ito ay tinatawag na factoring ng isang natural na numero sa prime factor. May isa pang pangalan para sa prosesong ito - factorization ng mga numero. Batay dito, ang mga pangunahing numero ay maaaring tawaging "materyal sa gusali", "mga bloke" para sa pagbuo ng mga natural na numero.

Maghanap ng mga pangunahing numero. Mga pagsubok sa pagiging simple

Sinubukan ng maraming siyentipiko mula sa iba't ibang panahon na maghanap ng ilang mga prinsipyo (systems) para sa paghahanap ng listahan ng mga prime number. Alam ng agham ang mga sistemang tinatawag na Atkin sieve, ang Sundartham sieve, at ang Eratosthenes sieve. Gayunpaman, hindi sila gumagawa ng anumang makabuluhang resulta, at isang simpleng pagsubok ang ginagamit upang mahanap ang mga pangunahing numero. Gumawa rin ang mga mathematician ng mga algorithm. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na primality test. Halimbawa, mayroong isang pagsubok na binuo nina Rabin at Miller. Ginagamit ito ng mga cryptographer. Mayroon ding Kayal-Agrawal-Sasquena test. Gayunpaman, sa kabila ng sapat na katumpakan, napakahirap kalkulahin, na binabawasan ang praktikal na kahalagahan nito.

May limitasyon ba ang hanay ng mga prime number?

Ang sinaunang Greek scientist na si Euclid ay sumulat sa kanyang aklat na "Elements" na ang set ng primes ay infinity. Sinabi niya ito: “Isipin natin saglit na may limitasyon ang prime numbers. Pagkatapos ay paramihin natin ang mga ito sa isa't isa, at magdagdag ng isa sa produkto. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng mga simpleng pagkilos na ito ay hindi maaaring hatiin ng alinman sa mga serye ng mga prime number, dahil ang natitira ay palaging magiging isa. Nangangahulugan ito na may iba pang numero na hindi pa kasama sa listahan ng mga prime number. Samakatuwid, ang aming palagay ay hindi totoo, at ang set na ito ay hindi maaaring magkaroon ng limitasyon. Bukod sa patunay ni Euclid, mayroong isang mas modernong pormula na ibinigay ng ikalabing-walong siglong Swiss mathematician na si Leonhard Euler. Ayon dito, ang sum reciprocal ng kabuuan ng unang n numero ay lumalaki nang walang limitasyon habang ang bilang n ay tumataas. At narito ang pormula ng teorama tungkol sa pamamahagi ng mga prime number: (n) lumalaki bilang n/ln (n).

Ano ang pinakamalaking prime number?

Ang parehong Leonard Euler ay nakahanap ng pinakamalaking prime number sa kanyang panahon. Ito ay 2 31 - 1 = 2147483647. Gayunpaman, noong 2013, isa pang pinakatumpak na pinakamalaki sa listahan ng mga prime number ang kinakalkula - 2 57885161 - 1. Ito ay tinatawag na Mersenne number. Naglalaman ito ng humigit-kumulang 17 milyong decimal na digit. Tulad ng nakikita mo, ang bilang na natagpuan ng isang ika-labingwalong siglong siyentipiko ay ilang beses na mas maliit kaysa dito. Dapat ay gayon, dahil ginawa ni Euler nang manu-mano ang pagkalkula na ito, habang ang aming kontemporaryo ay malamang na tinulungan ng isang computer. Bukod dito, ang bilang na ito ay nakuha sa Faculty of Mathematics sa isa sa mga departamentong Amerikano. Ang mga numerong ipinangalan sa siyentipikong ito ay pumasa sa Luc-Lemaire primality test. Gayunpaman, ang agham ay hindi nais na huminto doon. Ang Electronic Frontier Foundation, na itinatag noong 1990 sa United States of America (EFF), ay nag-alok ng monetary reward para sa paghahanap ng malalaking numero. At kung hanggang 2013 ang premyo ay iginawad sa mga siyentipiko na makakahanap sa kanila mula sa 1 at 10 milyong mga decimal na numero, ngayon ang bilang na ito ay umabot mula 100 milyon hanggang 1 bilyon. Ang mga premyo ay mula 150 hanggang 250 thousand US dollars.

Mga pangalan ng mga espesyal na prime number

Ang mga numerong iyon na natagpuan salamat sa mga algorithm na nilikha ng ilang mga siyentipiko at nakapasa sa pagsubok sa pagiging simple ay tinatawag na espesyal. Narito ang ilan sa mga ito:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Ang pagiging simple ng mga numerong ito, na pinangalanan sa mga siyentipiko sa itaas, ay itinatag gamit ang mga sumusunod na pagsubok:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge at iba pa.

Ang modernong agham ay hindi titigil doon, at malamang sa malapit na hinaharap malalaman ng mundo ang mga pangalan ng mga nagawang manalo ng $250,000 na premyo sa pamamagitan ng paghahanap ng pinakamalaking prime number.

Pagbilang ng mga divisors. Sa pamamagitan ng kahulugan, numero n ay prime lamang kung ito ay hindi pantay na mahahati ng 2 at iba pang mga integer maliban sa 1 at mismo. Ang formula sa itaas ay nag-aalis ng mga hindi kinakailangang hakbang at nakakatipid ng oras: halimbawa, pagkatapos suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 3, hindi na kailangang suriin kung ito ay nahahati ng 9.

• Ang floor(x) function ay iniikot sa x sa pinakamalapit na integer na mas mababa sa o katumbas ng x.

Matuto tungkol sa modular arithmetic. Ang operasyong "x mod y" (mod ay isang pagdadaglat ng salitang Latin na "modulo", ibig sabihin, "module") ay nangangahulugang "hatiin ang x sa y at hanapin ang natitira." Sa madaling salita, sa modular arithmetic, sa pag-abot sa isang tiyak na halaga, na tinatawag modyul, ang mga numero ay "bumaling" sa zero muli. Halimbawa, ang orasan ay nagpapanatili ng oras na may modulus na 12: nagpapakita ito ng 10, 11 at 12 o'clock at pagkatapos ay babalik sa 1.

• Maraming calculator ang may mod key. Ang dulo ng seksyong ito ay nagpapakita kung paano manu-manong suriin ang function na ito para sa malalaking numero.

Ang lahat ng iba pang natural na numero ay tinatawag na composite. Ang natural na numero 1 ay hindi prime o composite.

Halimbawa

Mag-ehersisyo. Alin sa mga natural na numerong nakasulat sa ibaba ang prime:

Sagot.

Pag-factor ng isang numero

Ang representasyon ng isang natural na numero bilang isang produkto ng mga natural na numero ay tinatawag factorization. Kung sa factorization ng isang natural na numero ang lahat ng mga kadahilanan ay mga pangunahing numero, kung gayon ang naturang factorization ay tinatawag pangunahing factorization.

Teorama

(Pundamental Theorem of Arithmetic)

Ang bawat natural na numero maliban sa 1 ay maaaring i-factor sa prime factor, at sa isang natatanging paraan (kung tutukuyin natin ang mga factorization at , kung saan at ang mga prime number).

Sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng magkaparehong mga pangunahing kadahilanan sa pagkabulok ng isang numero, nakukuha natin ang tinatawag na canonical decomposition ng isang numero:

kung saan ang , ay iba't ibang prime number, at mga natural na numero.

Halimbawa

Mag-ehersisyo. Hanapin ang canonical expansion ng mga numero:

Solusyon. Upang mahanap ang canonical decomposition ng mga numero, dapat mo munang i-factor ang mga ito sa prime factor, at pagkatapos ay pagsamahin ang parehong mga kadahilanan at isulat ang kanilang produkto bilang isang kapangyarihan na may natural na exponent:

Sagot.

Makasaysayang sanggunian

Paano matukoy kung aling numero ang prime at alin ang hindi? Ang pinakakaraniwang paraan para sa paghahanap ng lahat ng prime number sa anumang hanay ng numero ay iminungkahi noong ika-3 siglo. BC e. Eratosthenes (ang pamamaraan ay tinatawag na "sieve of Eratosthenes"). Ipagpalagay na kailangan nating matukoy kung aling mga numero ang prime. Isulat natin ang mga ito nang sunud-sunod at ekis ang bawat pangalawang numero mula sa mga sumusunod sa numero 2 - lahat sila ay pinagsama-sama, dahil ang mga ito ay multiple ng numero 2. Ang una sa natitirang uncrossed na mga numero - 3 - ay prime. Ekis natin ang bawat ikatlong numero mula sa mga sumusunod sa numero 3; ang susunod sa mga uncrossed na numero - 5 - ay magiging prime din. Gamit ang parehong prinsipyo, tatawid natin ang bawat ikalimang numero mula sa mga sumusunod sa numero 5 at, sa pangkalahatan, bawat isa mula sa mga sumusunod sa numero . Ang lahat ng natitirang uncrossed na numero ay magiging mga prime number.

Habang tumataas ang mga prime number, unti-unti silang nagiging mas karaniwan. Gayunpaman, alam na ng mga sinaunang tao ang katotohanan na walang hanggan ang marami sa kanila. Ang kanyang patunay ay ibinigay sa Euclid's Elements.