Урок №19-20 Тема: Тригонометрические неравенства

Тип урока: дифференцированный, проблемный.

Цель урока: Совершенствование навыков взаимодействия на уроке в группах, решая проблемные задачи. Развитие способности самооценки учащихся. Организация совместной учебной деятельности, дающая возможность формулировать и решать проблемные задачи.

Задачи урока:

Образовательная: Повторить алгоритмы решения тригонометрических неравенств; закрепить умения решения тригонометрических неравенств; познакомить учащихся с решением системы тригонометрических неравенств; разработать алгоритм решения системы тригонометрических неравенств; закрепить умение решение системы тригонометрических неравенств

Развивающая: Научить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение. Уметь распознавать и решать проблемные задачи. Проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.

Воспитательная: Повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.

Урок 1

1. Организационное введение. Постановка учебной задачи.

Класс делятся на три группы, которые объединяют учащихся одного уровня знаний.

I группа “А”

II группа “В”

III группа “С”

Учащиеся обучающиеся условно на “3”

Учащиеся обучающиеся условно на “4”

Учащиеся обучающиеся условно на “5”

Каждый учащийся получает лист личных достижений.

Учитель: Рассмотрите внимательно лист личных достижений. Впишите фамилию, имя и название группы. Тема нашего урока “Решение тригонометрических неравенств, систем неравенств”. Мы с вами сегодня

Повторим алгоритмы решения тригонометрических неравенств;

Закрепим умение решения тригонометрических неравенств;

Познакомимся с решением системы тригонометрических неравенств;

Разработаем алгоритм решения системы тригонометрических неравенств;

Закрепим умение решение системы тригонометрических неравенств;

Проведем матч с компьютером.

1. Повторение

Повторение алгоритма решения тригонометрических неравенств проводится с помощью слайдов. Учитель перед демонстрацией каждого слайда ставит задачу: “Проговорите алгоритм решения неравенства”, при этом вызывает 4-х учащихся по одному на каждый пункт алгоритма. Каждый учащийся проговаривает содержание одного из пунктов алгоритма и только потом появляется информация на слайде. Возможно, учащийся будет делать свои комментарии, в тексте эта часть ответа выделена курсивом.

Учитель: .

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

Учитель: Проговорите алгоритм решения неравенства

2. Работа в группах

Учитель раздает каждому ученику в группе альбомные листы, на которых нарисованы 3 числовые тригонометрические окружности. (Раздаточный материал дифференцированный)

Учитель: Каждому учащемуся надо решить 3 задания. В группе “А” одно задание проблемное (последнее). В группе “В” два задания проблемные (два последних). В группе “С” все задания проблемные. В течении 5 минут учащиеся, помогают друг другу разобраться с заданиями, затем в течении 10 минут учащиеся решают задания самостоятельно и по мере решения выходят к доске и закрепляют свои листочки с решением на доске.

Учитель проверяет по мере их вывешивания. За верно решенное задание ставиться “+”, за не верно решенное задание ставиться “-”. По истечению 10 минут решение прекращается и начинается в течение 5 минут разбор решенных заданий. Разбираются только проблемные задачи, но если есть необходимость, то можно разобрать и остальные задания.

Задания для учащихся по группам

I группа “А”

Задание №3 повышенной сложности для уровня “А”

II группа “В”

Задание №2 и №3 повышенной сложности для уровня “В”

III группа “С”

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

3.

2.

2.

2.

3.

Все задания повышенной сложности для уровня

“С”

Учитель: Учащиеся соревнуются внутри группы (успевшие вывесить верные задания получают дополнительно за скорость 3 балла). А также соревнуются команды между собой (учащиеся команды получают по 3 балла дополнительно, если в этой команде было больше верно решенных заданий)

Дополнительные баллы за скорость выставляет учитель в последнюю графу.

2 урок

Индивидуальный зачет по проблемной теме

Учитель: Вспомним, как решается система неравенств вида:

Ответ:

Учитель вызывает к доске ученика из группы “С” для решения системы неравенств, учащиеся из группы “В” озвучивают решение с места.

Учитель: Перед каждой группой ставиться проблема в виде решения трех систем тригонометрических неравенств (каждая группа получает одинаковые системы, т.е. все учащиеся в равных условиях).

№1.

Ответ: .

: большая дуга.

И .

.

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

Записать общее решение неравенства: .

3. Учащийся группы “С” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

- Выделить пересечение дуг и определить числовые значения граничных точек получившихся дуг: и ; и .

Записать общее решение системы неравенств:

№2 Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : большая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и .

Записать общее решение неравенства: .

2. Учащийся группы “В” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу : меньшая дуга.

Записать числовые значения граничных точек дуги: и . Составьте алгоритм и решите систему тригонометрических неравенств вида:

Ответ: .

На обсуждение проблемы в группах дается 2 минуты, а затем учитель сам вызывает к доске учащихся, которые на заготовленных окружностях, при скрытой подсказке учителя, решают систему неравенств. Учитель вызывает учащихся из разных групп, предлагая выполнить задания различной сложности. Один учащийся работает у доски, а другой помогает с места.

Учащийся группы “А” (3 балла) (с места помогает учащийся из той же группы):

Выделить дугу окружности, соответствующую интервалу .

5. Подведение итогов

Мы с вами:

Повторили алгоритмы решения тригонометрических неравенств;

Решали в группах тригонометрические неравенства, как простые, так и проблемные;

Разобрали решение 3 тригонометрических систем неравенств;

Разработали алгоритм решения системы тригонометрических неравенств в общем вид.

Дополнительная информация к уроку:

Приложение 1: Лист личных достижений.

Приложение 2: “Решение тригонометрических неравенств”

Приложение 3 “Решение системы тригонометрических неравенств”

Лист личных достижений

Фамилия, Имя _______________________________________

Группа____________________

1. Повторение (отметить галочкой):

0 б за не верный ответ ______

1 б за не четкий ответ ______

2 б за четкий ответ ______

3 б за умение найти и исправить ошибку ______

2. Работа в группах (отметить галочкой):

0 б за не решенное задание ______

1 б за ошибочное решение (ошибку исправил учитель) ______

2 б за ошибочное решение (ошибку исправил ученик) ______

3 б за правильное решение одного задания ______

3. Индивидуальный зачет по проблемной теме (отметить галочкой):

0 б за не участие в обсуждении проблемы _______

1 б за участие в обсуждении проблемы _______

2 б за активное обсуждение проблемы _______

3 б за умение составить алгоритм решения _______

Оцени свои знания

Модель урока на тему:

«Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

в рамках реализации регионального компонента по математике

для учащихся 10 класса.

Помыкалова

Елена Викторовна

учитель математики

МОУ СОШ поселка Восход

Балашовского района

Саратовской области

Цель урока.

1. Обобщить теоретические знания по теме: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств», повторить основные методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. Развивать качества мышления: гибкость, целенаправленность, рациональность. Организовать работу учащихся по указанной теме на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.

3. Воспитывать аккуратность записей, культуру речи, самостоятельность.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, приобретенных при изучении данной темы.

Методы обучения: системное обобщение, тестовая проверка уровня знаний, решение обобщающих задач.

Формы организации урока: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: компьютер , мультимедийный проектор, бланки ответов, карточки с заданием, таблица формул корней тригонометрических уравнений.

Ход урока.

I . Начало урока

Учитель сообщает учащимся тему урока, цель, обращает внимание учащихся на раздаточный материал.

II . Контроль знаний учащихся

1) Устная работа (Задание проектируется на экран)

Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;
е) .

2) Фронтальный опрос учащихся.

Какие уравнения называются тригонометрическими?

Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?

Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

Какие уравнения называются однородными?

Какие уравнения называются квадратными?

Какие уравнения называются неоднородными?

Какие способы решения тригонометрических уравнений вы знаете?

После ответа учащихся на экран проектируются некоторые способы решения тригонометрических уравнений.

Введение новой переменной:

№1 . 2sin²x – 5sinx + 2 = 0. №2. tg + 3ctg = 4.

Пусть sinx = t, |t|≤1, Пусть tg = z,

Имеем: 2 t ² – 5 t + 2 = 0. Имеем: z + = 4.

2. Разложение на множители :

2 sinx cos 5 x – cos 5 x = 0;

cos5x (2sinx – 1) = 0.

Имеем : cos5x = 0,

2sinx – 1 = 0; …

3. Однородные тригонометрические уравнения:

I степени II степени

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Разделим на cosx ≠ 0. 1) если а ≠ 0, разделим на cos ² x ≠ 0

Имеем : a tgx + b = 0; … имеем : a tg²x + b tgx + c = 0.

2) если а = 0, то

имеем: b sinx cosx + c cos ² x =0;…

4. Неоднородные тригонометрические уравнения:

Уравнения вида: asinx + bcosx = c

4 sinx + 3 cosx = 5.

(Показать два способа)

1)применение универсальной подстановки:

sinx = (2 tg x /2) / (1 + tg 2 x /2);

cosx = (1– tg 2 x /2) / (1 + tg 2 x /2);

2)введение вспомогательного аргумента:

4 sinx + 3 cosx = 5

Разделим обе части на 5:

4/5 sinx + 3/5 cosx = 1

Т. к. (4/5) 2 +(3/5) 2 = 1, то пусть 4/5 = sinφ ; 3/5= cosφ , где 0< φ < π /2, тогда

sinφsinx + cosφcosx = 1

cos (x – φ ) = 1

x – φ = 2 πn , n € Z

x = 2 πn + φ , n € Z

φ = arccos 3/5, значит, x = arcos 3/5 +2 πn , n € Z

Ответ: arccos 3/5 + 2 πn , n € Z

3)Решение уравнений с применением формул понижения степени.

4)Применение формул двойного и тройного аргументов.

a) 2sin4xcos2x = 4cos 3 2x – 3cos2x

cos6x +cos2x = cos6x

III . Выполнение тестового задания

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений.

Задание проводится в виде теста. Учащимися заполняется бланк ответов, находящийся у них на партах.

Задание проектируется на экран.

Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения:

1) приведение к квадратному;

2) приведение к однородному;

3) разложение на множители;

4) понижение степени;

5) преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Бланк ответов.

Вариант I

Уравнение

Способы решения

3 sin²x + cos²x = 1 - sinx cosx

4 со s²x - cosx – 1 = 0

2 sin² x / 2 + cosx = 1

cosx + cos3x = 0

2 sinx cos5x – cos5x = 0

Вариант II

Уравнение

Способы решения

2sinxcosx – sinx = 0

3 cos²x - cos2x = 1

6 sin²x + 4 sinx cosx = 1

4 sin²x + 11sin²x = 3

sin3x = sin17x

Ответы:

Вариант I Вариант II

IV . Повторение формул для решения уравнений

Формулы корней тригонометрических уравнений.

Общие

Частные

Уравнение

Формула корней

Уравнение

Формула корней

1. sinx = a, |a|≤1

x = (-1) n arcsin a + πk,

k є Z

1. sinx = 0

x = πk, k є Z

2. cosx = a, |a|≤1

x = ±arccos a + 2πk,

k є Z

2. sinx = 1

x = + 2πk , k є Z

3. tg x = a

x = arctg a + πk, k є Z

3. sinx = –1

x = – + 2πk , k є Z

4. ctg x = a

x = arcctg a + πk,k є Z

4. cosx = 0

x = + πk , k є Z

5. cosx = 1

x = 2πk , k є Z

6. cosx = –1

x = π + 2πk , k є Z

Устная работа по решению простейших тригонометрических уравнений

Учитель предлагает учащимся применить только что сформулированные теоретические факты к решению уравнений. На экран проектируется тренажёр для устной работы по теме: «Тригонометрические уравнения»

Решить уравнения.

sin x = 0

cos x = 1

tg x = 0

ctg x = 1

sin x = - 1 / 2

sin x = 1

cos x = 1 / 2

sin x = - √3 / 2

cos x = √2 / 2

sin x = √2 / 2

cos x = √3 / 2

tg x = √3

sin x = 1 / 2

sin x = -1

cos x = - 1 / 2

sin x = √3 / 2

tg x = -√3

ctg x = √3 / 3

tg x = - √3 / 3

ctg x = -√3

cos x – 1 =0

2 sin x – 1 =0

2ctg x + √3 = 0

V . Решение примеров.

Карточки с заданиями раздаются на каждую парту, одна – на учительском столе для учеников, выходящих к доске.

№1. Найдите среднее арифметическое всех корней уравнения , удовлетворяющие условию ;

Решение.

Найдем среднее арифметическое всех корней заданного уравнения из промежутка .

.

Ответ: а) .

№2 . Решите неравенство .

Решение.

,

,

.

Ответ:

№3. Решите уравнение .

(Совместно определить метод решения задачи )

Решение.

Оценим правую и левую части последнего равенства.

Следовательно, равенство выполняется тогда и только тогда, когда выполняется система

Ответ: 0,5

VI . Самостоятельная работа

Учитель выдает задания для самостоятельной работы. Карточки подготовлены по уровням сложности.

Более подготовленным учащимся можно дать карточки с задачами повышенного уровня сложности.

Учащимся 2-й группы учитель выдал карточки с заданиями базового уровня сложности.

Для учащихся 3-й группы учителем составлены карточки с заданиями базового уровня сложности, но это, как правило, учащиеся со слабой математической подготовкой, они могут выполнять задания под контролем учителя.

Вместе с заданиями учащиеся получают бланки для выполнения заданий.

1 группа

Вариант №1 (1)

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение .

Вариант №2 (1)

1. Решите уравнение .

2. Решить уравнение .

2 группа

Вариант №1 (2)

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .