Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

Область определения: все множество действительных чисел.

Постоянная функция является четной.

Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .

Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

Асимптот нет.

Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

«Преобразование графиков функций» - Растяжение. Симметрия. Закрепить построение графиков функций с использованием преобразований графиков элементарных функций. Построение графиков сложных функций. Самостоятельная работа Вариант 1 Вариант 2. Параллельный перенос. Сопоставить каждому графику функцию. Преобразование графиков функций. Рассмотрим примеры преобразований, объясним каждый вид преобразования.

«Иррациональное уравнение» - Алгоритм решения уравнений. История неразумных чисел. Какой шаг в решении уравнения приводит к появлению лишних корней. «Урок-дискуссия». Найди ошибку. Введение. " Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешал проблем". Ход урока. В споре недопустимы оскорбления, упреки, недоброжелательность в отношении к своим одноклассникам.

«График функции» - Если линейная функция задана формулой вида у = kх, то есть b=0, она называется прямой пропорциональностью. Если линейная функция задана формулой у = b, то есть k=0, то её график проходит через точку с координатами (b;0) параллельно оси ОХ. Функция. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой y = kx + b, где x - независимая переменная, k и b - некоторые числа.

Как построить график линейной функции? - Значение у, при котором x=3. Закрепление пройденного материала. Методическая тема. Построить график линейной функции у=-3х+6. - Определить свойства данной функции. Проверка: Ученик у доски. Изучение функций. Письменно с проверкой. В объёме школьной программы.

«График функции Y X» - Пример 1. Построим график функции y=(x - 2)2, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой. Пример 2. Построим график функции y = x2 + 1, опираясь на график функции y=x2 (щелчок мышкой). Шаблон параболы у = х2. График функции y=(x - m)2 является параболой с вершиной в точке (m; 0).

«Иррациональные уравнения и неравенства» - Методы решения. 3. Введение вспомогательных переменных. 1. Возведение в степень. Иррациональные уравнения Методы решения. Иррациональные уравнения и неравенства. 2. Умножение на сопряженное выражение. 4. Выделение полного квадрата под знаком радикала. 6. Графический метод. Иррациональные неравенства.

В этой статье мы коротко суммируем сведения, которые касаются такого важного математического понятия, как функция. Мы поговорим о том, что такое числовая функция и какие необходимо знать и уметь исследовать.

Что такое числовая функция ? Пусть у нас есть два числовых множества: Х и Y, и между этими множествами есть определенная зависимость. То есть каждому элементу х из множества Х по определенному правилу ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.

Важно, что каждому элементу х из множества Х соответствует один и только один элемент y из множества Y.

Правило, с помощью которого каждому элементу из множества Х мы ставим в соответствие единственный элемент из множества Y, называется числовой функцией.

Множество Х называется областью определения функции.

Множество Y называется множеством значений значений функции.

Равенство называется уравнением функции. В этом уравнении - независимая переменная, или аргумент функции. - зависимая переменная.

Если мы возьмем все пары и поставим им в соответствие соответствующие точки координатной плоскости, то получим график функции. График функции - это графической изображение зависимости между множествами Х и Y.

Свойства функции мы можем определить, глядя на график функции, и, наоборот, исследуя мы можем построить ее график.

Основные свойства функций.

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y) -это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции имеет смысл. Другими словами, это выражения .

Чтобы по графику функции найти ее область определения, н ужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ , записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений функции.

Множество значений функции Е(y) - это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3. Нули функции.

Нули функции - это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение . Корни этого уравнения и будут нулями функции .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции .

4. Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции - это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть или .

Чтобы найти , нужно решить неравенства и .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции по ее графику, нужно

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции - это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция возрастает или убывает.

Говорят, что функция возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента , принадлежащих промежутку I таких, что выполняется соотношение:.

Другими словами, функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента , принадлежащих промежутку I таких, что выполняется соотношение: .

Другими словами, функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Чтобы по графику функции определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

.

Графически это означает что точка с абсциссой x_0 лежит выше других точек из окрестности I графика функции y=f(x).

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность I точки , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой лежит ниже других точек из окрестности I графика функции .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

7. Четность (нечетность) функции.

Функция называется четной, если выполняются два условия:

Другими словами, область определения четной функции симметрична относительно начала координат.

б) Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение .

Функция называется нечетной, если выполняются два условия:

а) Для любого значения аргумента , принадлежащего области определения функции, также принадлежит области определения функции.

Тема урока: Построение графиков функций, содержащих модули . Знакомство с функциями ЕСЛИ и ABS .

Учитель математики и информатики МОБУ СОШ №2 села Новобелокатай, Белокатайского района Галиуллина Юлия Рафаиловна.

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс» под ред. Колмогорова, Угринович Н.Д. «Информатика и ИКТ 10 класс».

Тип урока: обучающий урок с применением информационных технологий.

Цель урока: проверить знания, умения, навыки по данной теме.

Задачи урока:

Обучающая

систематизация и обобщение знаний по данной теме;

научить определять наиболее удобный метод решения;

научить строить графики функции с использованием электронной таблицы.

Развивающая

развитие способности самоконтроля;

активизация мыслительной деятельности учащихся;

Воспитательная

воспитание мотивов учения, добросовестного отношения к труду.

Методы обучения: частично-поисковый, исследовательский, индивидуальный.

Форма организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная, карточки.

Средства обучения: мультимедийный проектор, экран, карточки

Ход урока

I . Организационный момент

Приветствие, проверка присутствующих. Объяснение хода урока

II . Повторение

Закрепление знаний по построению графиков в табличном процессоре.

Фронтальный опрос.

-Как вставить график в Е xcel ?

- Какие виды графиков существуют в Е xcel ?

Закрепление знаний по теме график с модулями.

- В чем смысл функции с модулем?

Разбор примера: y = | x | – 2.

Нужно рассмотреть два случая, когда х=0. Если х=0, то функция будет выглядеть y = x – 2. Построить в тетрадях график данной функции.

А теперь построим график функции с помощью табличного процессора MS Excel. График данной функции можно построить двумя способами:

1 способ: Использование функции ЕСЛИ

Для того чтобы построить график для начала нам нужно заполнить таблицу значений Х и У.

Называем ячейку А2-Х, ячейку В2-У. Следовательно в столбце А будет значение переменной, в столбце В значение функции.

В столбец А вводим переменной в интервале от -5 до 5 с шагом 0,5. Для этого в ячейку А3 вводим -5, а в ячейку А4 формулу =A4+0,5, копируем формулу в последующие ячейки, так как здесь относительная адресация то формула будет меняться при копировании.

После заполнения значений Х, переходим ко второму столбцу, для заполнения которого нужно ввести формулу. В ячейку В4 вводим формулу, в которой используем функцию ЕСЛИ.

Функция «Если» в электронных таблицах MS Excel (Категория - Логические) анализирует результат выражения или содержимое указанной ячейки и помещает в заданную ячейку одно из двух возможных значений или выражений.

Синтаксис функции «ЕСЛИ».

=ЕСЛИ (Логическое выражение; Значение_если_истина; Значение_если_ложь) . Логическое выражение или условие, которое может принимать значение ИСТИНА или ЛОЖЬ. Значение_если_истина – значение, которое принимает логическое выражение в случае его выполнения. Значение_если_ложь – значение, которое принимает логическое выражение в случае его невыполнения».

Логические выражения или условия строятся с помощью операторов сравнения (, =, =) и логических операций (И, ИЛИ, НЕ).

Рис.22 Функция ЕСЛИ

Функция ЕСЛИ относится к логическим.

Вспоминаем смысл функции с модулем: если х=0, то функция будет выглядеть y = x – 2.

Данную формулировку нужно ввести в ячейку В4 в понятном таблице виде. Значение Х находится в столбце А, следовательно если А4

А4-2, иначе =А4-2.

Рис.23 Аргументы функции ЕСЛИ

Формула имеет вид: =ЕСЛИ(A5A5-2;A5-2)

После заполнения таблицы значений. Строим график функции

Пункт меню Вставка-Диаграммы-Точечная. Выбираем один из макетов. На листе появляется пустое поле диаграммы. В контекстном меню данного поля выбираем пункт Выбрать данные. Появляется диалоговое окно Выбрать данные.

В данном диалоговом окне выбираем имя ряда в ячейке А1 или же также можно ввести название с клавиатуры.

В поле значение Х выбираем столбец, в который мы вводили значение переменной.

В поле значение У выбираем столбец, в котором мы с помощью условного оператора ЕСЛИ находили значение функции.

Рис. 24. График функции y = | x | – 2.

2 способ: Использование функции ABS

Также для построения графика с модулем, можно использовать функцию ABS.

Построим график функции y = | x | – 2 с помощью функции ABS.

В примере 2 даны значения переменной Х.

В ячейку В4 вводим формулу с использованием функции АВS

Рис.25. Ввод функции ABS с помощью мастера функций

Формула будет иметь вид: =ABS(A4)-2.

IV . Выполнение практической работы

После разбора двух примеров ученикам раздается практическое задание.

В этих заданиях вам приведены несколько функций с модулями. Вы должны выбрать какую из функции целесообразнее применять в каждом из примеров.

Практическая работа

Ученики рассматривают линейную функцию y = x – 2 и строят её график.

Задача 1. Построить график функции y = | x – 2 |

Задача 2. Построить график функции y = | x | – 2

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x – 2

Ученики рассматривают квадратичную функцию y = x 2 – 2х – 3 и строят график.

Задача 1. Построить график функции y = | x 2 – 2х – 3 |

Задача 2. Построить график функции y = | x 2 | – 2 | х | - 3

Задача 3. Построить график уравнения | y | = x 2 – 2х - 3

V . Информация о домашнем задании.

VI .Подведение итогов урока, рефлексия. Ученики и учитель подводят итоги урока, анализируют выполнение поставленных задач.