Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем - при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.
Формулы сокращенного умножения
По формулам сокращенного умножения:
разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму
Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы
Переход к разности выражений в 4 степени
Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение $a^4-b^4$
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n*m}$
Тогда можно представить:
$a^4={{(a}^2)}^2$
$b^4={{(b}^2)}^2$
Значит, наше выражение можно представить, как $a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2$
Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: $a^2-b^2=\left(a-b\right)(a+b)$.
Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена - $a$ - умножим на первый и второй член второго (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, затем второй член первого многочлена -$b$- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на $a^2$ и $b^2$),т.е. получим $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ и составим сумму получившихся выражений
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:
$a^4-b^4={{(a}^2)}^2$-${{(b}^2)}^2={(a}^2-b^2)(a^2+b^2)$=$\ \left(a-b\right)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Переход к разности выражений в 6 степени
Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение $a^6-b^6$
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е ${(a^n)}^m=a^{n\cdot m}$
Тогда можно представить:
$a^6={{(a}^3)}^2$
$b^6={{(b}^3)}^2$
Значит, наше выражение можно представить, как $a^6-b^6={{(a}^3)}^2-{{(b}^3)}^2$
В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы $a^3-b^3=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)$
Исходное выражение принимает вид
$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)$
Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:
$a^6-b^6={(a}^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Разложение на множители разности степеней
Проанализируем формулы разности кубов, разности $4$ степеней, разности $6$ степеней
Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:
Пример 1
Разложить на множители ${32x}^{10}-{243y}^{15}$
Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:
\[{32x}^{10}={(2x^2)}^5\]\[{243y}^{15}={(3y^3)}^5\]
Используем формулу разности степеней
Рисунок 1.
При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.
Как обычно, обратимся за помощью к теории.
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .
Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:
Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .
Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где - корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.
Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена, и как разделить многочлен на двучлен .
Остановимся подробнее на этих моментах.
1. Как найти корень многочлена.
Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.
Здесь нам помогут такие факты:
Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.
Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.
Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а - четное число.
Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.
Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.
Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент - коэффициент при - равен единице) справедлива формула Виета:
Где - корни многочлена .
Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.
Из этой формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.
Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.
Рассмотрим, например, многочлен
Делители свободного члена: ; ; ;
Сумма всех коэффициентов многочлена равна , следовательно, число 1 не является корнем многочлена.
Сумма коэффициентов при четных степенях :
Сумма коэффициентов при нечетных степенях :
Следовательно, число -1 также не является корнем многочлена.
Проверим, является ли число 2 корнем многочлена: , следовательно, число 2 является корнем многочлена. Значит, по теореме Безу, многочлен делится без остатка на двучлен .
2. Как разделить многочлен на двучлен.
Многочлен можно разделить на двучлен столбиком.
Разделим многочлен на двучлен столбиком:
Есть и другой способ деления многочлена на двучлен - схема Горнера.
Посмотрите это видео, чтобы понять, как делить многочлен на двучлен столбиком, и с помощью схемы Горнера.
Замечу, что если при делении столбиком какая-то степень неизвестного в исходном многочлене отсутствует, на её месте пишем 0 - так же, как при составлении таблицы для схемы Горнера.
Итак, если нам нужно разделить многочлен на двучлен и в результате деления мы получаем многочлен , то коэффициенты многочлена мы можем найти по схеме Горнера:
Мы также можем использовать схему Горнера для того, чтобы проверить, является ли данное число корнем многочлена: если число является корнем многочлена , то остаток от деления многочлена на равен нулю, то есть в последнем столбце второй строки схемы Горнера мы получаем 0.
Используя схему Горнера, мы "убиваем двух зайцев": одновременно проверяем, является ли число корнем многочлена и делим этот многочлен на двучлен .
Пример. Решить уравнение:
1. Выпишем делители свободного члена, и будем искать корни многочлена среди делителей свободного члена.
Делители числа 24:
2. Проверим, является ли число 1 корнем многочлена.
Сумма коэффициентов многочлена , следовательно, число 1 является корнем многочлена.
3. Разделим исходный многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.
А) Выпишем в первую строку таблицы коэффициенты исходного многочлена.
Так как член, содержащий отсутствует, в том столбце таблицы, в котором должен стоять коэффициент при пишем 0. Слева пишем найденный корень: число 1.
Б) Заполняем первую строку таблицы.
В последнем столбце, как и ожидалось, мы получили ноль, мы разделили исходный многочлен на двучлен без остатка. Коэффициенты многочлена, получившегося в результате деления изображены синим цветом во второй строке таблицы:
Легко проверить, что числа 1 и -1 не являются корнями многочлена
В) Продолжим таблицу. Проверим, является ли число 2 корнем многочлена :
Так степень многочлена, который получается в результате деления на единицу меньше степени исходного многочлена, следовательно и количество коэффициентов и количество столбцов на единицу меньше.
В последнем столбце мы получили -40 - число, не равное нулю, следовательно, многочлен делится на двучлен с остатком, и число 2 не является корнем многочлена.
В) Проверим, является ли число -2 корнем многочлена . Так как предыдущая попытка оказалась неудачной, чтобы не было путаницы с коэффициентами, я сотру строку, соответствующую этой попытке:
Отлично! В остатке мы получили ноль, следовательно, многочлен разделился на двучлен без остатка, следовательно, число -2 является корнем многочлена. Коэффициенты многочлена, который получается в результате деления многочлена на двучлен в таблице изображены зеленым цветом.
В результате деления мы получили квадратный трехчлен 
, корни которого легко находятся по теореме Виета:
Итак, корни исходного уравнения :
{
}
Ответ: {
}
Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.
1. Применение формул сокращенного умножения
Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,
Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом
2. Вынесение общего множителя за скобку
Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,
Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.
Общим множителем может быть и многочлен в скобках:
При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .
В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…
3. Способ группировки
Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.
4. Использование сразу нескольких способов
Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.
Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту:
Разложение многочлена на множители. Часть 2
В этой статье мы продолжим разговор о том, как раскладывать многочлен на множители. Мы уже говорили о том, что разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители :
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов.
Мы уже подробно рассмотрели . В этой статье мы остановимся на четвертом способе, способе группировки.
Если количество слагаемых в многочлене превышает три, то мы пытаемся применить способ группировки . Он заключается в следующем:
1.Группируем слагаемые определенным образом так, чтобы потом каждую группу можно было разложить на множители каким-то способом. Критерий того, что слагаемые сгруппированы верно - наличие одинаковых множителей в каждой группе.
2. Выносим за скобку одинаковые множители.
Поскольку этот способ применяется наиболее часто, разберем его на примерах.
Пример 1.
Решение. 1. Объединим слагаемые в группы:
2. Вынесем из каждой группы общий множитель:
3. Вынесем множитель, общий для обеих групп:
Пример 2.
Разложить на множители выражение: 
1. Сгруппируем последние три слагаемых и разложим на множители по формуле квадрата разности:
2. Разложим получившееся выражение на множители по формуле разности квадратов:
Пример 3. Решить уравнение:
В левой части уравнения четыре слагаемых. Попробуем разложить левую часть на множители с помощью группировки.
1. Чтобы структура левой части уравнения была яснее, введем замену переменной: ,
Получим уравнение такого вида:
2. Разложим левую часть на множители с помощью группировки:
Внимание! Чтобы не ошибиться со знаками, я рекомендую объединять слагаемые в группы "как есть", то есть не меняя знаки коэффициентов, и следующим действием, если необходимо, выносить за скобку "минус".
3. Итак, мы получили уравнение:
4. Вернемся к исходной переменной:
Разделим обе части на . Получим: . Отсюда
Ответ: 0
Пример 4. Решить уравнение:
Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену переменной:
Получим уравнение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и второе слагаемые и вынесем за скобку :
вынесем за скобку :
Вернемся к уравнению:
Отсюда или ,
Вернемся к исходной переменной:
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.