Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.

4x + 29 \end{array} \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Чтобы решить систему, нужно каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Решение неравенств отмечаем на числовых прямых:

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.

Ответ: x∈[-2;1).

В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом « «. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству

Отмечаем его решение на числовой прямой:

Ответ: x∈(-∞;1].

Раскрываем скобки. В первом неравенстве — . Оно равно сумме кубов этих выражений.

Во втором — произведение суммы и разности двух выражений, что равно разности квадратов. Поскольку здесь перед скобками стоит знак «минус», лучше их раскрытие провести в два этапа: сначала воспользоваться формулой, а уже потом раскрывать скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный.

Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Оба знака «больше». Используя правило «больше большего», сводим систему неравенств к одному неравенству. Большее из двух чисел 5, следоветельно,

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Решение неравенства отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ: x∈(5;∞).

Поскольку в алгебре системы линейных неравенств встречается не только в качестве самостоятельных заданий, но и в ходе решения разного рода уравнений, неравенств и т.д., важно вовремя усвоить эту тему.

В следующий раз мы рассмотрим примеры решения систем линейных неравенств в частных случаях, когда одно из неравенств не имеет решений либо его решением является любое число.

Рубрика: |

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Неравенство - это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: > (больше, в случае строгих неравенств), < (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Неравенство является линейным при тех же условиях, что и уравнение: оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

Решение линейных неравенств и систем линейных неравенств неразрывно связано с их геометрическим смыслом: решением линейного неравенства является некоторая полуплоскость, на которые всю плоскость делит прямая, уравнением которой задано линейное неравенство. Эту полуплоскость, а в случае системы линейных неравенств - часть плоскости, ограниченную несколькими прямыми, требуется найти на чертеже.

К решению систем линейных неравенств с большим числом переменных сводятся многие экономические задачи, в частности, задачи линейного программирования , в которых требуется найти максимум или минимум функции.

Решение систем линейных неравенств с любым числом неизвестных

Сначала разберём линейные неравенства на плоскости. Рассмотрим одно неравенство с двумя переменными и :

,

где - коэффициенты при переменных (некоторые числа), - свободный член (также некоторое число).

Одно неравенство с двумя неизвестными, так же как и уравнение, имеет бесчисленное множество решений. Решением данного неравенства назовём пару чисел , удовлетворяющих этому неравенству. Геометрически множество решений неравенства изображается в виде полуплоскости, ограниченной прямой

,

которую назовём граничной прямой.

Шаг 1. Построить прямую, ограничивающую множество решений линейного неравенства

Для этого надо знать какие-либо две точки этой прямой. Найдём точки пересечения с осями координат. Ордината точки пересечения A равна нулю (рисунок 1). Числовые значения на осях на этом рисунке относятся к примеру 1, который разберём сразу после этого теретического экскурса.

Абсциссу найдём, решая как систему уравнение прямой с уравнением оси .

Найдём пересечение с осью :

Подставляя значение в первое уравнение, получаем

Откуда .

Таким образом, нашли абсциссу точки A .

Найдём координаты точки пересечения с осью .

Абсцисса точки B равна нулю. Решим уравнение граничной прямой с уравнением оси координат:

,

следовательно, координаты точки B : .

Шаг 2. Начертить прямую, ограничивающую множество решений неравенства. Зная точки A и B пересечения граничной прямой с осями координат, можем начертить эту прямую. Прямая (снова рисунок 1) делит всю плоскость на две части, лежащие справа и слева (выше и ниже) от этой прямой.

Шаг 3. Установить, которая из полуплоскостей является решением данного неравенства. Для этого нужно в это неравенство подставить начало координат (0; 0). Если координаты начала удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, в которой находится начало координат. Если же координаты не удовлетворяют неравенству, то решением неравенства является полуплоскость, которая не содержит начала координат. Полуплоскость решения неравенства будем обозначать штрихами от прямой внутрь полуплоскости, как на рисунке 1.

Если решаем систему линейных неравенств , то каждый шаг выполняется для каждого из неравенств системы.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Начертим прямую

Подставив в уравнение прямой , получим , а подставив , получим . Следовательно, координаты точек пересечения с осями будут A (3; 0) , B (0; 2) . Через эти точки проведём прямую (опять рисунок 1).

Выберем полуплоскость решений неравенства. Для этого в неравенство подставим координаты начала (0; 0) :

получим , т. е. координаты начала удовлетворяют данному неравенству. Следовательно, решением неравенства является полуплоскость, содержащая в себе начало координат, т. е. левая (она же нижняя) полуплоскость.

Если бы данное неравенство было строгим, то есть имело бы вид

то точки граничной прямой не являлись бы решением, так как они не удовлетворяют неравенству.

Теперь рассмотрим систему линейных неравенств с двумя неизвестными:

Каждое из неравенств этой системы на плоскости определяет полуплоскость. Система линейных неравенств называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Решением системы линейных неравенств называется любая пара чисел (), удовлетворяющая всем неравенствам данной системы.

Геометрически решением системы линейных неравенств является множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам системы, то есть, общая часть получаемых полуплоскостей. Поэтому геометрически в общем случае решение может быть изображено в виде некоторого многоугольника, в частном случае - может быть линия, отрезок и даже точка. Если система линейных неравенств несовместна, то на плоскости не существует ни одной точки, удовлетворяющей всем неравенствам системы.

Пример 2.

Решение. Итак, требуется найти многоугольник решений этой системы неравенств. Построим граничную прямую для первого неравенства, то есть прямую , и граничную прямую для второго неравенства, то есть прямую .

Делаем это пошагово, как было показано в теоретической справке и в примере 1, тем более, что в примере 1 строили граничную прямую для неравенства, которое является первым в данной системе.

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, на рисунке 2 заштрихованы вовнутрь. Общая часть полуплоскостей решений представляет собой открытый угол ABC . Это означает, что множество точек плоскости, составляющих открытый угол ABC , является решением как первого, так и второго неравенства системы, то есть, является решением системы двух линейных неравенств. Иначе говоря, кординаты любой точки из этого множества удовлетворяют обоим неравенствам системы.

Пример 3. Решить систему линейных неравенств

Решение. Построим граничные прямые, соответствующие неравенствам системы. Делаем это, выполняя шаги, данные в теоретической справке, для каждого неравенства. Теперь определим полуплоскости решений для каждого неравенства (рисунок 3).

Полуплоскости решений, соответствующие неравенствам данной системы, заштрихованы вовнутрь. Пересечение полуплоскостей решений изображается, как показано на рисунке, в виде четырёхугольника ABCE . Получили, что многоугольник решений системы линейных неравенств с двумя переменными является четырёхугольником ABCE .

Всё описанное выше о системах линейных неравенств с двумя неизвестными относится и к системе неравенств с любым числом неизвестных, с той лишь разницей, что решением неравенства с n неизвестными будет совокупность n чисел (), удовлетворяющих всем неравенствам, а вместо граничной прямой будет граничная гиперплоскость n -мерного пространства. Решением будет многогранник решений (симплекс), ограниченный гиперплоскостями.

см. также Решение задачи линейного программирования графически , Каноническая форма задач линейного программирования

Система ограничений такой задачи состоит из неравенств от двух переменных:
и целевая функция имеет вид F = C 1 x + C 2 y , которую необходимо максимизировать.

Ответим на вопрос: какие пары чисел ( x ; y ) являются решениями системы неравенств, т. е. удовлетворяют каждому из неравенств одновременно? Другими словами, что значит решить систему графически?
Предварительно необходимо понять, что является решением одного линейного неравенства с двумя неизвестными.
Решить линейное неравенство с двумя неизвестными – это значит определить все пары значений неизвестных, при которых неравенство выполняется.
Например, неравенству 3x – 5 y ≥ 42 удовлетворяют пары (x , y ) : (100, 2); (3, –10) и т. д. Задача состоит в нахождении всех таких пар.
Рассмотрим два неравенства: ax + by ≤ c , ax + by ≥ c . Прямая ax + by = c делит плоскость на две полуплоскости так, что координаты точек одной из них удовлетворяют неравенству ax + by >c , а другой неравенству ax + +by <c .
Действительно, возьмем точку с координатой x = x 0 ; тогда точка, лежащая на прямой и имеющая абсциссу x 0 , имеет ординату

Пусть для определенности a < 0, b >0, c >0. Все точки с абсциссой x 0 , лежащие выше P (например, точка М ), имеют y M >y 0 , а все точки, лежащие ниже точки P , с абсциссой x 0 , имеют y N <y 0 . Поскольку x 0 –произвольная точка, то всегда с одной стороны от прямой будут находиться точки, для которых ax + by > c , образующие полуплоскость, а с другой стороны – точки, для которых ax + by < c .

Рисунок 1

Знак неравенства в полуплоскости зависит от чисел a , b , c .
Отсюда вытекает следующий способ графического решения систем линейных неравенств от двух переменных. Для решения системы необходимо:

1. Для каждого неравенства выписать уравнение, соответствующее данному неравенству.
2. Построить прямые, являющиеся графиками функций, задаваемых уравнениями.
3. Для каждой прямой определить полуплоскость, которая задается неравенством. Для этого взять произвольную точку, не лежащую на прямой, подставить ее координаты в неравенство. если неравенство верное, то полуплоскость, содержащая выбранную точку, и является решением исходного неравенства. Если неравенство неверное, то полуплоскость по другую сторону прямой является множеством решений данного неравенства.
4. Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти область пересечения всех полуплоскостей, являющихся решением каждого неравенства системы.

Эта область может оказаться пустой, тогда система неравенств не имеет решений, несовместна. В противном случае говорят, что система совместна.
Решений может быть конечное число и бесконечное множество. Область может представлять собой замкнутый многоугольник или же быть неограниченной.

Рассмотрим три соответствующих примера.

Пример 1. Решить графически систему:
x + y – 1 ≤ 0;
–2 x – 2y + 5 ≤ 0.

• рассмотрим уравнения x+y–1=0 и –2x–2y+5=0 , соответствующие неравенствам;
• построим прямые, задающиеся этими уравнениями.

Рисунок 2

Определим полуплоскости, задаваемые неравенствами. Возьмем произвольную точку, пусть (0; 0). Рассмотрим x + y– 1 0, подставим точку (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. значит, в той полуплоскости, где лежит точка (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, т.е. полуплоскость, лежащая ниже прямой, является решением первого неравенства. Подставив эту точку (0; 0), во второе, получим: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, т.е. в полуплоскости, где лежит точка (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, а нас спрашивали, где –2x – 2y + 5 ≤ 0, следовательно, в другой полуплоскости – в той, что выше прямой.
Найдем пересечение этих двух полуплоскостей. Прямые параллельны, поэтому плоскости нигде не пересекаются, значит система данных неравенств решений не имеет, несовместна.

Пример 2. Найти графически решения системы неравенств:

Рисунок 3
1. Выпишем уравнения, соответствующие неравенствам, и построим прямые.
x + 2y – 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Выбрав точку (0; 0), определим знаки неравенств в полуплоскостях:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, т.е. x + 2y – 2 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 – 0 – 1 ≤ 0, т.е. y –x – 1 ≤ 0 в полуплоскости ниже прямой;
0 + 2 =2 ≥ 0, т.е. y + 2 ≥ 0 в полуплоскости выше прямой.
3. Пересечением этих трех полуплоскостей будет являться область, являющаяся треугольником. Нетрудно найти вершины области, как точки пересечения соответствующих прямых


Таким образом, А (–3; –2), В (0; 1), С (6; –2).

Рассмотрим еще один пример, в котором получившаяся область решения системы не ограничена.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Интерактивное учебное пособие для 9 класса "Правила и упражнения по геометрии"
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов

Система неравенств

Ребята, вы изучили линейные и квадратные неравенства, научились решать задачи на эти темы. Теперь давайте перейдем к новому понятию в математике – система неравенств. Система неравенств похожа на систему уравнений. Вы помните системы уравнений? Системы уравнений вы изучали в седьмом классе, постарайтесь вспомнить, как вы их решали.

Введем определение системы неравенств.
Несколько неравенств с некоторой переменой х образуют систему неравенств, если нужно найти все значения х, при которых каждое из неравенств образует верное числовое выражение.

Любое значение x, при которых каждое неравенство принимает верное числовое выражение, является решением неравенства. Также может называться и частным решением.
А что есть частное решение? Например, в ответе мы получили выражение х>7. Тогда х=8, или х=123, или какое-либо другое число большее семи – частное решение, а выражение х>7 – общее решение. Общее решение образуется множеством частных решений.

Как мы объединяли систему уравнений? Правильно, фигурной скобкой, так вот с неравенствами поступают также. Давайте рассмотрим пример системы неравенств: $\begin{cases}x+7>5\\x-3
Если система неравенств состоит из одинаковых выражений, например, $\begin{cases}x+7>5\\x+7
Так, что же значит: найти решение системы неравенств?
Решение неравенства – это множество частных решений неравенства, которые удовлетворяют сразу обоим неравенствам системы.

Общий вид системы неравенств запишем в виде $\begin{cases}f(x)>0\\g(x)>0\end{cases}$

Обозначим $Х_1$ – общее решение неравенства f(x)>0.
$Х_2$ – общее решение неравенства g(x)>0.
$Х_1$ и $Х_2$ - это множество частных решений.
Решением системы неравенств будут числа, принадлежащие, как $Х_1$, так и $Х_2$.
Давайте вспомним операции над множествами. Как нам найти элементы множества, принадлежащие сразу обоим множествам? Правильно, для этого есть операция пересечения. Итак, решением нашего неравенство будет множество $А= Х_1∩ Х_2$.

Примеры решений систем неравенств

Давайте посмотрим примеры решения систем неравенств.

Решите систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x-1>2\\5x-10 b) $\begin{cases}2x-4≤6\\-x-4
Решение.
а) Решим каждое неравенство отдельно.
$3х-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Отметим наши промежутки на одной координатной прямой.

Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым.
Ответ: (1;3).

Б) Также решим каждое неравенство отдельно.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ 5$.
$-x-4 -5$.


Решением системы будет отрезок пересечения наших промежутков. Второе неравенство строгое, тогда отрезок будет открытым слева.
Ответ: (-5; 5].

Давайте обобщим полученные знания.
Допустим, необходимо решить систему неравенств: $\begin{cases}f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end{cases}$.
Тогда, интервал ($x_1; x_2$) – решение первого неравенства.
Интервал ($y_1; y_2$) – решение второго неравенства.
Решение системы неравенств – есть пересечение решений каждого неравенства.

Системы неравенств могут состоять из неравенств не только первого порядка, но и любых других видов неравенств.

Важные правила при решении систем неравенств.
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и вся система не имеет решений.
Если одно из неравенств выполняется для любых значений переменой, то решением системы будет решение другого неравенства.

Примеры.
Решить систему неравенств:$\begin{cases}x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end{cases}$
Решение.
Решим каждое неравенство по отдельности.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Решим второе неравенство.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Решением неравенства будет промежуток.
Нарисуем оба промежутка на одной прямой и найдем пересечение.
Пересечение промежутков - отрезок (4; 6].
Ответ: (4;6].

Решить систему неравенств.
а) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4 б) $\begin{cases}3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end{cases}$.

Решение.
а) Первое неравенство имеет решение х>1.
Найдем дискриминант для второго неравенства.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Вспомним правило, когда одно из неравенств не имеет решений, то вся система не имеет решений.
Ответ: Нет решений.

Б) Первое неравенство имеет решение х>1.
Второе неравенство больше нуля при всех х. Тогда решение системы совпадает с решением первого неравенства.
Ответ: х>1.

Задачи на системы неравенств для самостоятельного решения

Решите системы неравенств:
а) $\begin{cases}4x-5>11\\2x-12 б) $\begin{cases}-3x+1>5\\3x-11 в) $\begin{cases}x^2-25 г) $\begin{cases}x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end{cases}$
д) $\begin{cases}x^2+36